八下25讲 期末压轴特训3 双动点，最值综合题 全覆盖

写在前面

前两讲，我们对函数图象与面积，四边形存在性问题作了一个细致的总结归纳，作为这个系列的最后一讲，笔者选择本学期中的经典动点与最值问题，帮助同学们在填空选择压轴题有所突破!

一、动点专练

例1

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)若△BPQ为直角三角形，求t；

(2)设△BPQ的面积为S(cm²)，求S与t的函数关系式；

(3)作QR∥BA交AC于点R，连结PR，若△APR∽△PRQ，求t？

分析：

(1)分两种情况考虑：∠BPQ＝90°，或∠BQP＝90°，由于∠B＝60°，则第三角必为30°，利用30度角所对直角边是斜边的一半，可知BP长是BQ长的两倍或一半，建立方程求解．

(2)由于∠B＝60°是特殊角，故不能选PQ为底，过点A作高！可选BP为底，过Q作垂线段QE，则高QE的长也可用含t的代数式表示，S与t的函数关系式也可求；

(3)由QR∥BA，可证得△CRQ∽△CAB，△CRQ也为等边三角形，求出QR和PE的长，则QR＝PE，可证四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR＝∠A＝60°，在△PQR中，利用60°，得到PR，QR的比值，列出方程即可求t．

解答：

例2

分析：

由翻折知，四边形QPCP′必为筝形，要想使其为菱形，则首先必须是平行四边形，对角线必然互相平分，利用这一点，想到连接PP′，交CQ于点O，则QO＝CO，想办法用含t的代数式表示出CO和QO，问题迎刃而解．

解答：

二、最值分类

(1)垂线段最短型及变式

例1：

如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_______．

分析：

由PE⊥AC，PF⊥BC，得∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，可证四边形ECFP是矩形，想到对角线相等，可连接CP，问题转化为CP的最小值，则CP⊥AB时，可取最小值．

解答：

变式：

如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为________．

分析：

本题与例1十分类似，先用勾股定理逆定理，证∠BAC＝90°，从而可证四边形AEPF是矩形，M为对角线EF的中点，放在Rt△AEF中，AM长是斜边EF长的一半，连接AP，AP＝EF，则AM也是AP的一半，求出AP的最小值，AM的最小值就是其一半．

解答：

(2)将军饮马型及变式

例2

如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为________

分析：

本题是一个典型的将军饮马问题，属于一定两动型，点B是定点，M，N是动点，方法大家应该很熟了，作点B关于AC的对称点E，当E，M，N三点共线，且EN⊥AB时，BM＋MN＝EN最短，而要求这个最小值，则需要利用勾股定理，或者相似解决．

解答：

作点B关于AC的对称点E，过E作EF⊥AB交于点F，连接BE

变式1：

分析：

显然，这是一个将军饮马问题，但是，P、Q、R三个点均不是定点，不能过定点作对称，那只能选择Q或P作对称．由于原三角形是等边三角形，那么翻折后，可以将等边三角形补成一个菱形，此后思路与例1一致．同时，本题还要求等边三角形的边长，掌握公式就很快！

解答：

变式2：

如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP中点，则△CEF的周长最小值为________

分析：

解答：

下面还有！