七上第2讲 学好相反数,“绝对值”!(上)——典型例题篇

写在前面

绝对值和相反数一节,是学习有理数运算前的重要内容,其知识点多,概念易混淆,是很多学生的难点,因此,计划用2讲的篇幅,对这一节内容的重难点,易错点做一个归纳!

本讲主要针对这一节的典型例题.

一、知识脉络

1.绝对值

(1)绝对值的定义(几何意义)

数轴上,表示一个数的 点与 原点的距离,叫做这个数的绝对值.

(2)绝对值的表示方式

数a的绝对值记作|a|.

(3)绝对值的非负性

一个数的绝对值是非负数,记作|a|≥0.

(4)绝对值的代数意义

补充:

绝对值是它本身的数是非负数.

绝对值是它相反数的数是非正数.

2.相反数

(1)相反数的定义

符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数.

(2)相反数的表示方式

这个数的前面添加一个“-”号.

数本身的表示方式

这个数的前面添加一个“+”号.

(3)多重符号的化简

在不含绝对值形式前提下

若一个正数前面有偶数个“-”,其结果为正,

若一个正数前面有奇数个“-”,其结果为负.

(4)相反数的一些形式

a,b互为相反数←→a+b=0

二、典型例题

(1)0+0型及变式

例1

已知|x-3|+|y-0.5|=0,求x、y的值.

分析:

根据绝对值的非负性,两个非负数相加,和要为0,只可能是0+0型,因此,两个绝对值均为0.

解答:

由题意得,

|x-3|=0,|y-0.5|=0

∴x=3,y=0.5

变式

若|a-3|与|3b-6|互为相反数,求a-b的值.

分析:

由两式互为相反数,得到两式之和为0,转化为0+0型.

解答:

由题意得,|a-3|+|3b-6|=0

|a-3|=0,|3b-6|=0

∴a=3,b=2,a-b=1

(2)相反数的应用

例2

若x与3x-4互为相反数,则x=_____.

分析:

由两式互为相反数,得到两式之和为0,转化为关于x的方程.

解答:

由题意得,

x+3x-4=0

4x-4=0

x=1

变式

若|m-2|与-7互为相反数,则m =_____.

分析:

由两式互为相反数,得到两式之和为0,|m-2|=7,此时有两种思路:

一种,可得m-2=±7,

一种,利用绝对值的几何意义,|m-2|表示数m的点与数2的点之间的距离,距离为7,则数m的点只需将数2的点向左或向右平移7个单位得到.

解答:

由题意得,

|m-2|=7

m-2=±7,

m=9或-5

(3)多解问题

例3

如果两个有理数的绝对值分别是3和1,求表示这两个数的点之间的距离.

分析:

对于两个有理数,我们不妨设为a,b,数a的绝对值为3,则a=±3,同理,b=±1,此时,两个点的距离,就需要分情况讨论,a,b各有2种情况可搭配,总共四种情况.最后别忘了总结.

解答:

设两个有理数分别为a,b,

由题意得,a=±3, b=±1,

当a=3,b=1时,这两个数的点之间距离为2.

当a=3,b=-1时,这两个数的点之间距离为4.

当a=-3,b=1时,这两个数的点之间距离为4.

当a=-3,b=-1时,这两个数的点之间距离为2.

综上,表示这两个数的点之间的距离为2或4.

例4

已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a,求a、b的值.

分析:

由第一个条件,易知a=±5, b=±3,由|a-b|=b-a,可知a-b的绝对值是它的相反数,则a-b是非负数,a-b≤0,a≤b,从而可以分类讨论,确定a,b的值.

解答:

由题意得,

a=±5, b=±3

∵|a-b|=b-a,

∴a-b≤0,a≤b,

例5

分析:

由文字语言,我们要学会翻译为数学符号语言,互为相反数,则和为0,商为-1.互为倒数,则积为1,绝对值是2,m=±2,然后分类讨论求值.

解答:

(4)绝对值化简

例6

|3-π|=_____.

分析:

绝对值化简,首先要考虑原式的正负性,正数绝对值是本身,负数绝对值是相反数,显然3-π是负数,绝对值是其相反数.

解答:

|3-π|=π-3

例7

若1<x<5,|x-1|+|x-5|=_____.

分析:

由1<x<5,可得x-1>0,x-5<0,则前者绝对值是其本身,后者是其相反数.

解答:

原式=x-1+5-x=4

例8

若a<b<0,化简|a-b|-|a|+|b|.

分析:

由a<b,知a-b<0,故其绝对值是其相反数,a,b的绝对值均为其相反数.

解答:

原式=b-a-(-a)+(-b)

=b-a+a-b

=0

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