深入理解宇宙中最神秘的物体——黑洞，黑洞熵与热力学定律
墨西哥裔、以色列裔美国理论物理学家贝肯斯坦是第一个提出黑洞存在的人——一个时空区域，引力非常强，连光都无法逃脱。他指出，黑洞应该有一个定义明确的熵。根据贝肯斯坦，我们可以这样定义黑洞熵：
黑洞熵是必须分配给黑洞的熵量，以使其符合热力学定律，因为它们被黑洞外部的观察者解释。（Black hole entropy is the amount of entropy that must be assigned to a black hole in order for it to comply with the laws of thermodynamics as they are interpreted by observers external to that black hole.）
图1：贝肯斯坦-霍金熵。它的值与A/4成正比，其中A是视界的面积。
为什么黑洞有熵？
在贝肯斯坦的一篇文章中，他提供了三种可能的方法来证明黑洞熵的存在：
（1）坍塌形成黑洞的物质和辐射对外部观察者是隐藏的。因此，这样的观察者无法提供黑洞坍塌的热力学描述，因为它们（黑洞）是不可观测的。一种解释热力学的方法是把熵和黑洞联系起来。
图2：引力坍缩导致黑洞的形成（维基百科）。
（2）参数化一个静止黑洞只需要三个量——质量M，电荷Q和角动量J。因为在这三个参数中有几种可能的黑洞形成机制，必然有几种可能的内部状态与之相关。我们知道热力学熵量化了许多微观状态（与给定的宏观状态兼容），它们以温度T、压力P和体积V等为特征。在黑洞的例子中，宏观状态的特征是元组(M, Q, J)。引用贝肯斯坦的话，“热力学熵量化[…]多重性。”因此，我们需要把熵和黑洞联系起来。
图3：微观状态是热力学系统可以占据的一种特殊的微观构型。宏观状态是指它的宏观性质，有一些参数如温度，压力和体积。（图片：维基百科）
（3）黑洞隐藏着信息。黑洞提供的所有信息都是(M, Q, J)，它屏蔽了所有进入它的信息。因为我们从基本统计力学中知道熵是用来测量缺失信息的，这表明黑洞也有熵。
图4：所有三种不同形状的“恒星”坍缩而没有保留其属性。崩塌后，第一个黑洞没有磁场，第二个黑洞不是方形的，第三个黑洞的表面没有凸起。
黑洞的熵公式
我们有理由假设黑洞的熵只依赖于三个可观测量M、Q和J中的一个或多个。根据面积定理，黑洞的事件视界的面积不会减少。这让我们想起了封闭系统的热力学熵的行为。因此，假设黑洞的熵是视界面积的单调递增函数是有意义的。
现在，我们可以证明（稍后将讨论），一个遵循热力学第一定律的黑洞，其熵与视界的面积成正比。更具体地说，如果视界的面积是A，黑洞熵是：
式1：黑洞的熵与其视界面积A成正比（在这个表达式中，所有物理常数均设为1）。
我们使用自然单位（物理常数设为1）。
图5：黑洞S的熵与其视界的面积A成正比。
黑洞的类型
黑洞主要有四种类型：
史瓦西黑洞：质量M，电荷Q=0角动量J=0。
克尔黑洞和克尔-纽曼黑洞：质量M，电荷Q（克尔黑洞Q=0，但克尔-纽曼黑洞是带电的），角动量J。
赖斯纳-诺德斯特伦黑洞（Reissner–Nordström black holes ）：质量M，电荷Q，角动量J=0。
下面我将简要介绍史瓦西黑洞和克尔-纽曼黑洞。前者是最简单的黑洞类型，后者是最普遍的。
史瓦西黑洞
史瓦西黑洞是静止的球对称黑洞，只有一个参数，即质量M。球坐标下的史瓦西线元为：
式2：球坐标下的史瓦西线元。
从球面坐标系转换到一个新的叫做爱丁顿-芬克尔斯坦坐标系，人们发现r = 2M并不是一个真实的时空奇点。史瓦西黑洞的唯一奇点是在中心r=0处。视界的半径为r = 2M，视界的表面积和相应的熵为：
式3：史瓦西黑洞的视界面积和相应的熵。
图6：史瓦西黑洞。右边的图显示了一个吸积盘，它是由围绕中心大质量物体的弥散物质形成的。光子层是一个空间区域，在那里引力迫使光子在轨道上运动。
克尔-纽曼黑洞
克尔-纽曼黑洞是最普遍的固定黑洞。注意，固定和静止是不同的概念。克尔-纽曼黑洞是旋转的（因此它不是静态的），但是它总是以同样的方式旋转，因此它是固定的。克尔-纽曼黑洞有三个参数，即黑洞的质量M，电荷Q，和角动量J。它是Q=0的克尔黑洞的推广。与史瓦西黑洞相反，克尔-纽曼黑洞的视界不是球形的。
在波义耳-林德奎斯特坐标（Boyer-Lindquist）坐标(t,r，θ，ϕ)中，线元素为：
式4：用波义耳-林德奎斯特坐标表示的克尔-纽曼线元。
这里：
式5：克尔-纽曼黑洞度规的参数。
其中θ是球坐标中的极坐标角。我们还需要知道电磁场张量，以便得到爱因斯坦场方程的解。在波义耳-林德奎斯特形式中，电磁场张量为：
式6：克尔-纽曼黑洞的麦克斯韦张量
每质量带电荷q的粒子围绕克尔-纽曼黑洞的运动方程如下：
式7
下面的动画演示了测试粒子的运动。
图7：围绕克尔-纽曼黑洞运行的测试粒子
式8：克尔-纽曼黑洞的视界面积。
克尔-纽曼黑洞的重要表面
式9
式10：内部和外部的能层。
图8：这个图显示了一个克尔黑洞（克尔-纽曼黑洞的不带电版本）周围的视界。事件视界（内部和外部）定义了不可能回到特定空间区域的零表面。静止极限面（图的右上角）是时间型的（极点处除外）。超过它，观察者就不能保持静止。能层是一个可以进出（但不能保持静止）的区域。
黑洞热力学定律
式11：热力学第一定律。这里dW是对系统做的功。
式12：热力学第一定律，当系统以角频率Ω旋转时，它的电势为Φ。
式13：黑洞力学和几何性质增量之间的关系。
式14：式13中dM、dJ、dQ的系数的值。
式15：黑洞的角旋转频率和电势。
黑洞的角旋转频率（任何掉进黑洞的实验物体，最终都以这个频率绕过黑洞）。 黑洞的电势（黑洞电场从无穷到视界的线积分）。
式16：方程式13是黑洞热力学第一定律的条件。
式17：由式1给出的熵S决定的黑洞温度。
式18：霍金辐射的温度。
图9：英国理论物理学家史蒂芬·霍金，他在1974年发表了一篇论文，他计算了黑洞发出的霍金辐射的温度。
式19：热力学第二定律
式20：广义热力学第二定律。
不可实现性表述：:对于一个系统，要达到T=0，需要无限多的步骤。 能斯特-西蒙表述：在T=0时，系统的熵要么趋于零，要么独立于强热力学性质，如压力，磁场或电势。
在零温度下，黑洞的熵不是零，而是取决于J/M的比值，这与黑洞的角速度有关。 有一些迹象表明，黑洞满足不可实现性的表述。索恩（1973）发现，在天体物理场景中，在满足极值消失条件之前，在J/M≈0.998M时，非带电黑洞的自旋过程被延迟。
黑洞熵的起源是什么？
式21：玻尔兹曼熵，其中W是对应于单个宏观状态的等可能微观状态数。
黑洞熵计算了物质和能量的内部状态。 对于坍缩形成的黑洞，视界外部和内部的量子场自由度之间存在纠缠。对于外部观察者来说，视界内部的自由度是无法达到的。因此，在一个有意义的状态下，内部自由度被绘制出来。 黑洞熵计算视界引力状态。因此，我们正在寻找的微观状态是驻留在黑洞视界上的引力自由度的状态。