【名师支招】二元一次方程组经典题赏析

有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（　　）

A．105元               B．210元                C．170元               D．不能确定

解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意

由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，

即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元．

对于初一的学生来说,这道非常规的方程问题,需要较强的观察、分析、和变形能力，要想找到这个解法并不轻松！如果具备数学的整体思想和数形结合思想，一切只不过是逻辑的必然。

一般情况下解一次方程，未知数的个数和方程的个数相等情况下才可以解，本题来源于1985年的全国初中数学联赛，它被改编到试卷和练习题中，在人教版教材中，三元一次方程组打了*号，不作考试要求，为何频频出现呢？这题背后的宝藏值得我们去挖掘一下！

数学思维一：

原方程可以变形为：2（x+3y）+(x+y+z)=315

3(x+3y)+(x+y+z)=420

于是(x+y+z)的值转化为消去(x+3y).

数学思维二:把x,y 看作主元,原方程课变为:  3x+7y=315-z

4x+10y=420-z

解出   x=105-150z   y=50z  从而x+y+z=105

数学思维三,如果具备高阶思维,构造 m(3x+7y+z)=315m

n(4x+10y+z)=420n

使得:       3m+4n=1

7m+10n=1

m+n=1

可解得:m=3,n=-2,于是有了上面给出的简单解出过程.

事实上,如果到了高中,可以把上述两个方程看作两个平面,而求解则是确定一个过其交线的平面(求k):  x+y+z=k  从空间知识出发,确定平面x+y+z=3有一个点就够了,故特殊化解法令y=0.

数学思维五:联立三个方程(3x+7y+z)=315 ;(4x+10y+z)=420;x+y+z=k得出三元非齐线性方程组有非零解,又可得行列式解法.

来源 玩转数学君