邹生书——活用“龙凤不等式”简解函数压轴题
活用“龙凤不等式”简解函数压轴题
湖北省阳新县高级中学 邹生书
函数与不等式综合题是高考中的重要考题和压轴之作，内容涉及函数单调性、极值、零点、参数取值范围以及不等式证明等问题，导数是解决函数问题强有力的武器，求导是常规解法的必由之路，有些问题还需要通过多次求导方能解决。有趣的是有些函数不等式问题，运用我们熟悉的两个著名不等式（这里称之为“龙凤不等式”）及其变式不求导也可破解函数不等式压轴题。下面举例说明，与读者分享。
1、龙凤不等式——两只会下蛋的母鸡
普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修2-2第32页习题1.3B组第1题：利用函数单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证。
同样将上述两个不等中的x换成其它的式子可得形式多样的不等式。这两个不等式形异而质同，并且可以生出诸多不等式，是两只会下蛋的母鸡。这两个不等式是堪称经典的函数不等式，其中lnx≤x-1的ln象龙头,ex≥x+1的e象凤眼，我们不妨分别称之为龙不等式和凤不等式，统称为龙凤不等式，取名龙凤不等式意在说明这两个不等式的高贵和重要地位。题在书外，根在书中，源于教材，高于教材。不少高考题和模拟题都是以这两个“龙凤不等式”为题根进行命制的。
2、“龙凤不等式”应用举例
下面我们用借鸡生蛋的方法来处理一些函数压轴题，这种解法不用求导颠覆常规会给我们带来一种全新体验：做数学、玩数学、享受数学。但要注意龙凤不等式并非完全单打独斗，常常与其它数学方法如分离参数法、同构方法、先必要后充分等联袂解题。
例2：2020年全国高考山东卷第21题
显然不能通过参数分离进行求解，故应该用其它方法来解决。本题用先必要后充分求解较为简洁，解法如下。（下面赋值输入有误，应该是f(1)）
点评：本题是由2020年高考山东卷的第2问将x用替换成x+1而得到的。
解（2）本解法由武汉赵恢平老师提供
例7（2018年高考全国卷III文科第21题）
例8（2018广州市一模理科第21题）
例9（2013全国II卷理科第21题）
例10（2017全国III卷理科第21题）
例11（2018年武汉市高三毕业生二月调考文科第21题）
例12（2018兰州市一模理科第21题）
例13（2014年全国卷I理科第21题改编）
上述解法充分利用“龙凤不等式”这对会下蛋的母鸡，通过代换生出新的不等式，然后用新的不等式求参数的值或取值范围或证明不等式。这种解法是用联系的观点和“继承、创新、发展”的理念思考数学问题，全程没有求导没有导数，有的是不等式字母的代换变化，给人一种“乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄”的全新视角，做数学题就象是玩魔术一样，做题的过程就是在玩数学和享受数学的过程。
有人认为学习数学应该经历如下三种境界：一、做数学。数学光看不做是不行的，数学必须得亲自去做，这样才能巩固所学的知识，才能将书本知识转化为解决问题的能力。做数学这一关，真所谓是第一境界“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。二、研究数学。在学中做，在做中研。独立思考，发现问题，提出问题，解决问题，这就是研究数学。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”说的就是这种境界。三、享受数学。在做数学和研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，突然灵感闪现，“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”，忽然发现方法竞如此之妙。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”说的就是这种心境。数学不仅是有趣的，而且是美的，是一种体现人类思维之美的科学。如果你能够在做数学中发现数学之美，还能在研数学中享受数学之美，这样你就达到了学习数学的第三种境界，也就是最高境界——享受数学。
参考文献：
[1]吴统胜，杨豫晖。例谈构造函数法破解高考函数导数压轴题[J]，中学数学研究（广州），2018（2）
【来源】邹生书数学。