数学教师与数学家，都是以数学为伴，面对不同是数学问题！
不同的是，数学教师是遵循国家制定的一些大纲，在一定的范围内适当的自由发挥，把已知的数学知识传授给孩子，并在思维与兴趣上进行引导，算是知识的搬运工，对于一些特级教师、数学教授级别的可能会对已有数学知识进行筛选、加工。
数学家则不同，数学家在我们的世界里是神一般的存在，他们研究的都是未知领域，能从平凡中看出不平凡，解决未来人类可能需要的数学原理，猜想没有解决的数学问题。
所以，对于数学教师而言，终身的任务就是学习、授课、反思、交流，让自己的教学技能越来越精湛，教学思想日趋完善，并推广自己信奉是数学思想，研究数学大师的经典，跟随大师，拜于大师门下，与大师交流，成为连接大师与学生之间的引路人。
大师介绍：
姓名：张景中
出生地：河南省汝南县人
成就：中国科学院院士
方向：计算机科学家、数学家和数学教育学家
作品：《数学家的眼光》，《帮你学数学》，《新概念几何》
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哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对象。那时，它是包罗万象的，数学只不过是算术和几何而已。17世纪，自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”。这个时候，数学扩大了自己的领域，它开始研究运动与变化。今天，数学在向一切学科渗透，它的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式。可是西方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析，把问题缩小到“人能说出些什么”。哲学应当是人类认识世界的先导，哲学关心的首先应当是科学的未知领域。哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时，哲学沉默了。它倾听科学的发现，准备提出新的问题。哲学，在某种意义上是望远镜。当旅行者到达一个地方时，他不再用望远镜观察这个地方了，而是把它用于观察前方。数学则相反，它是最容易进入成熟的科学，获得了足够丰富事实的科学，能够提出规律性的假设的科学。它好像是显微镜，只有把对象拿到手中，甚至切成薄片，经过处理，才能用显微镜观察它。哲学从一门学科退出，意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科，甚至控制一门学科，意味着这门学科达到成熟的阶段。哲学的地盘缩小，数学的领域扩大，这是科学发展的结果，是人类智慧的胜利。但是，宇宙的奥秘无穷。向前看，望远镜的视野不受任何限制。新的学科将不断涌现，而在它们出现之前，哲学有许多事可做。
面对着浩渺的宇宙，面对着人类的种种困难问题，哲学已经放弃的和数学已经占领的，都不过是沧海一粟。哲学在任何具体学科领域都无法与该学科一争高下，但是它可以从事任何具体学科无法完成的工作，它为学科的诞生准备条件。数学在任何具体学科领域都有可能出色地工作，但是它离开具体学科之后无法作出贡献。它必须利用具体学科为它创造条件。
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数学的对象曾被毕达哥拉斯当做宇宙的本质，曾被柏拉图当做理念世界的一部分。现代数学把结构作为自己的研究对象，现代西方哲学的一个重要派别是结构主义。数学讲究定义的准确与清晰，现代西方哲学则用很大力气分析语言、概念的含义。当哲学家要说明世界上的一切时，他看到，万物都具有一定的量，呈现出具体的形，数学的对象寓于万物之中。
当哲学家谈论怎样认识真理时，他不能不注意到，数学真理是那么清晰而无可怀疑，那样必然而普遍。当哲学家谈论抽象的事物是否存在时，数学提供了最抽象而又最具体的东西:数、形、关系、结构。它们有着似乎是不依赖于人的主观意志的性质。当哲学家在争论中希望把概念弄得更清楚时，数学家提供了似乎卓有成效的形式化的方法。即使数学家本身也是哲学家，他的数学活动并不一定打上哲学观点的烙印，他的哲学观点往往被后人否定，而数学成果却与世长存。数学太具体了，太明确了。错误的东西易于被发现，被清除。
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数学对抽象的东西作具体的研究。 哲学研究世界上一切事物共同的普遍的规律，研究人如何认识世界，研究概念的意义。数学研究的东西使人难以想象，高维空间、非欧几何、超限数、豪司道夫怪球，达到高度抽象。可是哲学命题却使人难以把握其确切含义。比如，哲学家常常说“存在”。什么叫存在？使用存在这个概念要服从什么法则？谁也没有清楚地阐述过。
哲学家常常说“事物”。什么叫“事物”？如何运用“事物”这个概念？也没有界说。哲学家的有些命题，只可意会，不可言传。比如“世界是物质的”，这是一条十分重要的哲学命题。从常识出发，人人能理解，而且它是与科学的发现始终一致的。但是如果从宇宙上追究，那么究竟什么叫“物质”？如何证明世界是物质的？这些都是很难回答的。数学研究的对象虽然抽象，但是可以作具体的研究，而且只能作具体研究。数学中的许多概念，可以言传而不可意会。用符号、语言，一步一步可以讲得很严格，很具体，至于它究竟是什么，由于抽象的次数太多了，头脑中已难以想象。可是推理、论证，却不含糊。西方现代哲学热衷于把概念精确化，这似乎是受了数学的影响。但是，哲学的本质是不精确的，因为哲学的对象是科学的未知领域。如果哲学像数学那样精确严格，哲学也就成了数学的一部分，不再是哲学了。
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涉及具体问题时，语言必须精确严格。数学的看家本领，就是把概念弄清楚。这本领是经过两千多年才练出来的。
先有鸡先有蛋的问题这样解决:上造出了第一只鸡，因而先有鸡。这就把问题与哲学联系起来了。现在我们抛开子虚乌有的上帝，从科学角度分析，是先有鸡还是先有鸡蛋呢？只从逻辑上讲，可能没有答案。例如:“小的整数是奇数还是偶数”就没有答案，因为没有最小的整数。 能不能说，鸡与鸡蛋，像偶数与奇数一样，没有最先的呢？这不行。我们已经知道，地球上本来没有生物，也没有鸡和鸡蛋，它们是在自然界发展中出现的，应该有一先一后。对这样的问题，数学思维方式是问一问什么是鸡，什么是鸡蛋，它们之间有什么联系。如果生物学家无法判断什么是鸡，当然也无法回答这个问题。我们应当假定，什么是鸡的问题已经解决，否则，问题没有意义。鸡蛋的概念不应当与鸡无关，否则问题也无意义了。根据常识，我们可以提供两个可能的定义:如果选择定义1：自然是先有鸡，第一只鸡是从某种蛋里出来的，而这种蛋不是鸡生的，按定义，不叫鸡蛋。如果选择定义2：一定是先有蛋。孵出了第一只鸡的蛋，按定义是鸡蛋，可它并不是鸡生的。如果不把鸡蛋的定义确定下来，问题自然无解。不知道什么是鸡蛋，还问什么先有鸡先有蛋呢！这就是数学家的常用的办法——问一个“是什么。古代的哲学家不懂得这个方法，古代的数学家也不太懂这个方法。这个方法是从非欧几何诞生之后数学家才掌握的。
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个别和一般的关系，在两千多年的时期内，一直是哲学家争论的话题。柏拉图认为，具体事物是虚幻的，抽象的概念倒是真实的。世界上除了大狗、小狗、黄狗这些个别的狗之外，还有一个理念的狗。具体的狗可以变化、死亡，而理念的狗是永恒的、绝对的。具体的狗之所以是狗，是因为它分有了“狗”这个理念。亚里士多德批判了柏拉图的理念论，他指出，一般不能离开个别而存在。除了具体的这只狗、那只狗之外，没有一个另外的抽象的狗。他并不认为一般存在于个别之中。在中国古代，有公孙龙“白马非马”的著名诡论。他说:要马，黄马黑马都可以。要白马，黄马黑马就不行了。可见白马非马这种说法，难倒了当时的许多人。
一般与个别的关系，长期在争论，也就说明长期弄不清。其实，用数学中集合的概念很容易弄清一般与个别的关系。这只狗、那只狗，过去的每一只狗、未来的每一只狗，构成一个集合，这个集合就叫做狗集合，不过通常略去集合二字罢了。具体的狗是狗集合的元素。黑狗，是狗集合的一个子集。这样看，“一般”是存在的，它作为集合而存在。个别也是存在的，它作为集合的元素而存在。集合由元素构成，没有元素的集合是空的，可见一般离不开个别。我们常常用“是”、“非”这些字眼，但是，它们在不同的场合意义不同。“是”可以表示“等于”。“欧几里得是《几何原本》的作者”°这里，“是”表示等于。“是”可以表示“属于”。“欧几里得是古希腊数学家”，这里“是”不再表示等于了。“古希腊数学家是一个集合，欧几里得是这个集合中的一个元素。元素与集合的关系，在数学上用“属于来表示。“是”可以表示“包含于”。“狗是哺乳动物”这句话里，“狗是一个集合，“哺乳动物”也是一个集合。这句话表示:“狗”集合是“哺乳动物”集合的子集。回到公孙龙的“白马非马＂，我们问:这里“非”字是什么思呢？
“非”是“是”的反面。“是”可以表示“等于”、“属于”“包含于，“非”也就可以表示“不等于”、“不属于”或“不包于”。
“马”是一个集合，“白马”是“马”的一个子集合，“白马非马”中的“非”字，如果表示“不等于”，这句话是对的，因为白马集合确实不等于马集合。如果表示“不包含于”，就错了，因为白马集合包含于马集合。
顺便说一句，说“白马集合不属于马集合”，从数学上看是不对的。因为“属于”表示元素与集合之间的关系，不用来表示集合之间的关系。这样，“白马非马”也就成了索然无味的、毫无诡论意义的普遍东述了一只要说清楚“非”字的含义就可以了。
被誉为“哲学之王”的黑格尔说:你可以吃樱桃和李子，但是能吃水果。这无非是说樱桃和李子不是水果，和白马非马是一样，不过比公孙龙晚了两千多年罢了。
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客观事物作用于人的感官，使人产生相应的概念。我们看见月亮这个东西，才有了月亮这个概念。这表明先有事物后有概念。但是，有些事物是人发明出来的，人必须先在头脑中形成一定的概念，作为创造具体事物的依据。因此，对于人为的事物，则可以先有概念，后有事物。提到数学对象，产生了一个难题:点、线、面、数这些概念与它们所代表的事物，是哪个在前哪个在后呢？是先有了点、线、面、数这些事物，反映在人们头脑中成为概念，还是人们在头脑中形成概念之后，把它们创造出来用以描述客观世界呢？认为世界上先有了点、线、面、数，这正好是柏拉图的唯心主义的理念论。认为它们是人从概念中创造出来的，如何解释数学定律的客观性与准确性？
只有这样解释:客观事物的数量关系和空间形式在人的头脑中抽象为数学概念，人根据概念又创造出数学对象。数学对象之间的关系与客观世界一致，并不奇怪。一个真正奇怪的故事是虚数的产生。-1的平方根，是数学运算的结果。在几百年的漫长时期中，最伟大的数学家也认为它纯属幻，后来才发现它并不虚。它反映了客观世界的某些性质与规律，但它一开始并不是客观事物在人头脑中的反映，是人通过运算把创造出来的。人创造出虚数，可是虚数服从的数学规律不以人的主观意志转移，因此，数学家觉得，不是人创造了虚数，而是人发现了虚数。
数学家总是自觉不自觉地把他们研究的对象想象成客观的实在。但是，当他们认为规律是客观的时候，他们被认为是唯物的，当们认为数学对象是实在的时候，他们又被认为是唯心的。唯心主能够在数学中找到栖身之处。正如列宁指出过的:在最简单的抽中，已经包含着唯心主义的可能性。＊回到开始的话题。可不可以说，数学对象是和概念同时产生呢？这时，事物不过是概念，概念也就是事物。
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批判理性主义主张“证伪原则”，认为只有能被经验证伪的命题是科学命题。其理由是:科学命题是全称判断，举多少例子也不能证实，但是有一个反例就能证明命题不成立。哥德巴赫猜想:每个大于2的偶数都可以表为两个素数之和。检验多少偶数也不可能证实它，找到一个反例就可以证明它不成立。解的存在定理:数学里有许多存在性定理，定理往往肯定某一方程有解。这种类型的命题，实际检验只能肯定它，不能否定它。实际检验，无非是把数代入方程试一试。满足了，命题就成立；不满足，并不能否定命题，因为还可以再试验别的数。这类命题物理学里也有，如磁单极存在的猜想。
孪生素数无穷的猜测:如果p和p＋2都是素数（如3与5，5与7，17与19），便称它们是一对孪生素数。数学家猜想“孪生素数是无穷的＂。给了任一个p，很容易检验p和p＋2是不是一对孪生数。但是无论检验的结果如何，既不能证实这个命题，也不能推翻这个命题。能说它不是一个科学的命题吗？看来，逻辑实证主义的“证实主义”，批判理性主义的“证伪主义”，都不足以判定一个命题是不是科学命题。科学命题可能被证实而不被证伪，也可能被证伪而不被证实，甚至可能既不被证伪又不被证实。“物质是无限可分的，不存在不可分的基本粒子”，它永远不可能被证实，但是也不可能被证伪。即使把目前已发现的“基本”粒子再分100万次，还不能算“无限可分”。可是反过来，即使100万年都不能把“基本”粒子再分割成更基本的粒子，也不能推翻这个命题。反过来，假定物质由不可分的基本粒子组成，也是既不能被证实，也不能被证伪的。类似地，“宇宙是无限的”，“宇宙是有限的”，也不可能被证实或证伪。看来，一个命题是不是科学命题，不能简单地从逻辑上来确定。这是一个复杂的问题，只能在社会实践中检验。
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然而概念一旦形，就有了自己的性质，数学家奈何它不得。康托尔和戴德金在建立实数理论的时候，并没有想到实数比自然数多，更没有想到一小截线段上的点和全空间的点一样多。集合中的发现使康托尔自己一再吃惊。
圆规直尺不能三等分角，五次以上方程没有根式解，非欧几何，司道夫怪球，这些都是不可能用具体例子证实的真命题。数学世界是人的创造，它却是客观的。它的内在性质与规律不人的主观意志为转移。批判理性主义的创始人，当代西方著名哲学家波普，他的证伪义虽不足取，但是他的三个世界的理论却包含了极有价值的东西。 波普认为世界由三个部分组成:世界1——物理世界，即物质世界；世界2——精神世界；世界3——人类精神产物的世界。其实，世界2不过是世界1的一部分。因为人脑也是物质，精神活动也是物质活动，不过因为是人在研究，就特别重视自己的精神，也就把它单列为一个世界了。世界3的确是独具特色，它是精神世界的产品，又具有物质世界那种不依人的主观意志为转移的客观规律性。世界3完全由信息组成。它是以世界1中的信息为基本原料，在世界2中进行加工的结果。数学对象存在于何处？现在可以说，它存在于世界3，世界3不是柏拉图的理念世界，因为已经肯定了先有世界1。但是，世界3对世界2有重要影响，并且它还通过世界2来影响世界1。有一种看法认为三个世界的理论将导致唯心主义，其实未必。
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三角形内角和等于180°，这是一个很初等的数学命题。深刻之处在于，它阐明的是三角形的总体性质。这条定理对于三角形的一条边、一个角都没有意义，只有把三角形作为一个总体，才有这个命题。而许多初等微积分定理，研究的仅仅是函数的局部性质。正是从三角形内角和定理出发，现代数学才得到了十分深刻的结果—“高斯一比内一陈定理”。这是当代数学大师陈省身教授的得意之作。三角形内角和是180°。四边形呢？五边形呢？这容易回答:四边形内角和是360°，五边形内角和是540°。一般地，n边形内角和是（n-2）个180°这似乎找到了一般规律，其实不然。把观点变一变，不看内角看外角，便有:三角形外角和为360°，四边形外角和为360°五边形外角和为360°，这个结论就比“内角和是（n-2）个180°”干净、利落，因而漂，实现了特殊到一般的转化。
多边形是由有限条直线段构成的，有限化为无限，多边形就变了封闭曲线。设想这封闭曲线是自己不和自己相交的一条高速公，汽车在上面奔驰，其运动方向时时在改变。汽车在曲线上转了一圈，运动方向改变总量（代数和）是多少呢？恰恰是360°。这里一次从特殊达到了一般。 进一步把曲线放到曲面上，放到“流形”上，最终到达深刻的高斯一比内一陈定理”。不仅看内角，而且看外角；不仅看直线，而且看曲线；不仅看平面，而且看曲面。这生动地体现了辩证的方法。
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平移运动下，与平移方向一致的直线是不变的。旋转运动下，转动的中心是不变的。变化中不变的东西，往往是最重要的东西，刻画了变化的特性的东西。运动可以改变图形的位置，但是图形上线段的长度是不变的。这长度就是两点的距离。保持两点距离不变是运动的特点。放大镜下，图形变了样，两点距离变大了；摄影，又使图形变小:这时两点距离变了，但是直线之间的角度不变。图形的按比例放大与缩小，叫相似变换。保持直线仍为直线，并且直线间的角度不变，这是相似变换的特点。任何科学都关心某种变化中不变的东西。生物学关心遗传因子，学关心元素，物理学关心基本粒子，哲学关心普遍的规律。宇宙中的一切在运动与变化，但是我们相信变化与运动遵循的基本规律是不变的。如果基本规律也在变比如说，某一天万有引力忽然消失了，或光速变得更快，或能量守恒律不成立了，人类会觉得世界是不可想象的。
当然，不变的规律是基本规律，是指一定条件下必须产生一定的结果。记得谁说过，太阳上没有水，也就没有关于水的规律。乎不能这样说。关于水的规律，是指如果有水，则水有什么性质等等。规律的内容包含了它的前提。我们日常感到的规律，如冬去春来，日出日落，总有一天是要变的。然而在这变的背后，仍有不变的东西在支配着，这应当是科学与哲学的基本信念。
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存在决定意识，人总是受时代的限制。这可以说明，为什么哲学总是受到后人的批判。数学家的工作却多受到后人的肯定。这使数学变成越来越庞大越来越难以掌握的一门科学。可是离开具体命题，涉及对事物的观点，数学家也总是看不到下一步是什么样子，也总是受限制于时即使是最伟大的数学家。欧几里得力图给点和直线这些基本的几何元素下定义，结果徒劳的。演绎推理必须从不加定义的元素开始，而元素的性质由公理刻画。这是后人比欧几里得高明之处。 欧拉对复数作了深刻的研究，他弄不清虚数的意义。他认为虚数既不是什么又不是什么都不是，它纯属虚幻。
希尔伯特终于发现自己提出了一个不能实现的目标—用形式系统证明数学的协调性。现在我们回头来看，就不难理解，为什么如此伟大的思想家恩各斯也曾发表过“武器发展到机关枪已到了顶点，因为再快人就无去控制了”这种错误的预言。他想都没想到过自动控制的导弹。可以用纯形式的逻辑推理证明，准确地预知未来是不可能的，将导致矛盾:在一张卡片上写下一句话，这句话描述了一件事，请预言家先表意见，再揭开卡片。预言家应当说明，卡片上所写的事是否生。卡片既已写好，答案应当是确定了的。两位预言家各选一个答。甲说是，乙说否，两个人总有一个命中了吧？预言“否”的乙错了，他认为卡片上的事不会发生，却发生了。预言“是”的甲也错了，他认为卡片上的事要发生，却没有生。
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莱布尼兹不仅是一个大数学家，还是一个大哲学家，他在德国国王宫廷讲学时，肯定地说:“世界上没有两件事物是完全一样的。事后，听讲的宫女纷纷在花园里找寻树叶加以比较，她们看到，确实没有两片相同的树叶。莱布尼兹的命题自身证明了自身:如果完全一样，就不叫做个两个事物，而是同一个事物了。事实上，两个事物在空间占的位置是不一样的。比如两个电子，我们无法指出两个电子之间有什么同，除了它们占有不同的位置。
国旗上的大五角星和小五角星，可以说是一样的，因为形状颜色一样。也可以说不一样，因为大小不同。一样可以有种种的标准。数学在研究“一样”这个概念时，舍弃了所有的标准，注意力集中于它的结构特性。什么是“一样”呢？在数学看来，“一样”是一种关系，它存在于两个事物之间。这个关系应当满足三个条件:（3）如果甲和乙一样，乙和丙一样，那么甲就和丙一样。满足这三条的关系，叫等价关系。在几何学中，两个三角形之间的全等关系、相似关系、等积关系，都是等价关系。所谓一样，就是提供了一个把事物进行分类的方法，同一类的事物认为是一样的。根据不同的目的，可以有各种分类方法。莱布尼兹说“没有两件事物完全一样”。这里，“完全一样”意味着:对事物进行分类时，每一类只有一件事物，当然不可能有两件事物完全一样了。
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这和辩证法的“否定之否定”是一致的。它是说，事物发展到了一定限度，将会向反面转化。那么，什么叫“极”呢？“极”就是到了头，到了顶点。什么叫到了顶点呢？就是只能回头了，就是要“反”了。“极”与“反”有逻辑上的联系。如果没有反，就是还不到极”的时候。这么一分析，一句极富启发意义的警句成了同义反复，使人颇为扫兴。
其实，逻辑上的同义反复并不一定没有意义，关键是涉及的概有没有生命力。“极”这个概念，来自客观世界的沧海桑田、风云幻，来自人们对新陈代谢现象的认识，它是有生命力的概念。 有人认为数学没给人以新的东西，因为所有的结论都包含在概念的定义之中了。这是不错的。本质上，数学命题是同义反复，甚至结论比前提还要贫乏。但是，如果不给出数学的证明，谁又知道这是同义反复呢？直角三角形画在黑板上，看来简单明白，一览无遗，不经过逻辑推理，谁能想到斜边的平方恰巧是两直角边的平方和呢？象棋与围棋的千变万化，都是简简单单的几条规则的逻辑推论，没有给出任何新的东西。游戏尚且有如此丰富的内容，更何况概念源于气象万千的现实世界的数学了。
注：文章张景中院士《数学与哲学》一书中的《数学与哲学随想》，本人研读之后，精选个人觉得比较精彩的部分，仅供同行学习教流。
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教什么？怎么教？是我们作为数学老师课堂教学一直思考的两个问题。数学概念，尤其是战略性的数学概念，往往是人类千百年思维抽象的结晶，所以我们需要结合历史，追根溯源，建立学生大数学观。教的不同，是因为对“教什么”理解的不同，至于搞定了教什么？怎么教就是设计的问题了，结合学生当下的起点，思考要把学生带到什么重点，最后再实践的过程中一直追问：目标有多远？到了吗？最后，分享我的“胡说数学三板斧”与“胡说数学三算课”，有兴趣的话，我们可以开设相关课程！
处于小学阶段的学生，对于“阅读问题”的能力还是比较弱的，一道题目做错了，总结其原因，没有读懂题目，算是最高频率的理由；还有，没有思考，不会做也是一个合理的解释；单单就这两条足以让老师头疼，家长无奈，所以胡老师的这三板斧，只要坚持的好了，还是有很大作用的。数学解题技巧虽然很多，但是孩子们又能学多少呢？画图，列表，设字母可以说是孩子们最应该坚持的去训练的方法与思维。当然，这三板斧具体是什么？可以私下和我沟通！
胡老师的数学理念就是自然而然的数学教学，教授数学概念、数学思维、数学文化，结合画图、列表、设字母等方法，坚持不懈的传播第三世界（孩子自己的世界）的数学，为数学阅读推广而奋斗！
其实，我们的数学教材存在这“三种运算”--口算、笔算、估算。这都是教学大纲要求的，估算属于不精准的计算，更侧重于生活场景的运用，很有现实意义，所以老师们教学份量在小学数学里体现很多。笔算，那就不用说了，老师更为重视这种形式，能得分，准确，虽然速度慢，需要孩子根据一定的运算法则去计算。口算，也是小学要求的一块，算法多样化一直都是提倡的，但是也只是提倡，因为我们平时总是教育孩子们“好脑子不如烂笔头”、“口算容易出错，孩子笔算好”、“平时多用演草纸，不要口算”等。
口算与笔算的形式不同，用笔在纸上列出竖式，并写出计算过程进行计算，叫做笔算。不借助任何工具，直接说出或者写出运算结果，叫作口算。列竖式从低位算起，写出每一步计算过程，列竖式是笔算的标记。
运算方向不同，笔算（加减乘）是由低位到高位，而口算一般从高位到低位。如127+386先算100+200，再算20+80，最后算7+6.
思考方法不同，笔算严格按照运算法则进行，借位，进位等，先算个位再算十位。而口算则可依据数据的性质和特点，应用不同的思考方法进行。比如：25×48=20×40+20×8+5×40+5×8；25×48=25×4×12等。
口算的前提是会算法，懂算理，这是运算能力的两个重要组成部分，算理是计算的道理，是探索和解释运算法的依据，客观存在的规律；算法是计算的方法，是计算的操作程序，是人为规定的，基于算理！所以，口算好的学生一定基于算理，运算法则，如果有运算策略以及思想更好！
最终需要通过大量的刻意练习才可以，孩子们平时做数学题不用它，光靠上口算课是没用的，所以平时也要要求孩子口算，笔算，估算相结合，不要偏颇任何一个能力！
借助工具是人类掌握世界的一种能力在进步，这依然是人借助于外，属于递弱代偿的道理，就是人类对外在的依赖越多，也就意味着人类自身能力越弱，但人类为了显示自己更强，是宇宙的主宰，所以会发明更强大的工具，这是我们经常在工作中所提倡的，借助外在，让自己工作更顺畅，哪怕是一个没有能力的人，但是只要会运用好工具（人，事物）也是一个牛人！
但是，对于纯粹的东西，美好的东西，一定是做减法的！回归于自然！美好的人，美好的事，美好的物，都会因为本质，自然为好！所以，数学的学习也是这样，越是感觉低级的，启蒙的，越是本质的！
口算这一块不仅仅是为了应付考试，平时我也经常给孩子们讲口算的算理与法则，遵循着什么规律！在这个过程中，孩子需要理解算理，运用好运算法则，掌握解题策略，提升对数学的兴趣，原来孩子不敢想的事情可以通过努力完成！
小计算，大道理，小小计算蕴含人生哲理，甚至处事的学问，胡老师之前总结过，胡说数学计算九句话，每一句话都是人生哲理！
