真实的虚数，不仅不是没用，而且还很实在

数学是从生产生活中诞生的，随着数学的发展，逐渐超出了人们的想象。虚数就是数学发展过程中的一个典型例子，不过，直到今天，仍有很多小伙伴对虚数表示难以理解。本文，就与您一起来聊聊虚数其实不虚。

一、现实中不应该存在的数

假设有一块边长为5米的正方形土地，现在想把这个土地扩大出39平方米并且仍旧是正方形。其实这个题目很简单，初中生应该都会，就是求方程（5+x）^2=25+39的根。最后得到的结果是x=3或x=-13。根据题意，可以得到x=3，因为边长不能是负数，所以-13是无效解。

如果前面这个例子还可以理解，那么下面这个方程就无法接受了。x^2+2x+2=0，为了求解x我们把方程变换一下(x+1)^2=-1。很明显，这个题目如果在实数范围内是做不下去的。什么数的平方会是负数呢？

这个平方后能产生负数的方程曾经在很长一段时间里困扰着数学家们，莱布尼兹就曾经认为，这是数学解析中的一个奇异，在现实中的是不存在的，所以就把它称作了虚数。

二、现实中的虚数意义

我们现在知道-1的平方根是i，让我们一起来探索一下i的性质。考虑在一根数轴上的实数，1、2、3……，如果把它们乘以-1就得到-1、-2、-3……。这些数相当于是原来那个数以原点为中心旋转180度。由于i^2=-1，这意味着，一个数两次乘以i旋转了180度。

换句话说，就是一个实数如果乘以一个i意味着旋转了90度。我们把一个实数乘以i之后的数叫做纯虚数，它位于与实数轴垂直的虚数轴上。方程x^2-6x+25=0有两个根，x=3±4i，这两个根就是在由实数数轴，以及与实数数轴垂直的虚数数轴构建的平面上的两个点相对应。我们把实数+实数i这种结构的数叫做复数。

很明显，复数的这个特点意味着这是一个超越了只有正负两个方向的实数，是一个能描述平面上所有点的方向的更广义上的数。虚数i的意义就在于与实数一起构建了一个向量空间，复数描述了这个空间中的点距离原点的距离和离开实数正方向所偏转的角度。

对于一个复数z=a+bi，其距离原点的距离为r=（a^2+b^2）^(1/2)，其偏转角度为θ，tanθ=b/a。r被称为z的绝对值，用|z|来表示，θ叫做 z的辐角，用arcz表示。

三、虚数（复数）与物理学

物理学中经常要计算质点的位移，有了复数这种处理就简单了很多。举个例子，某质点在t1时刻其复平面内的位置为r1=2+3i，t2时刻的位置为r2=5+3i，求t1、t2时刻中位移的变化Δr。其实也很简单，r2-r1=3。意味着，在这个时刻内，这个质点沿着实数轴的正方向移动了3个单位，而在虚数轴正方向位置保持不变。

由于不是数学内容，所以这里简单总结一下复数运算的物理意义。复数的加减法其实就是分别沿着实数轴和虚数轴的平移，而复数的乘除法其实就是复数的伸缩和旋转。正是因为复数的这种性质，所以复数很自然地被应用于物理学当中。

在GPS导航中，复数被用于计算和描述交通工具所处的位置及位置变化信息。由于复数不仅有大小（距离）而且还包含辐角，所以也被用于描述很多周期性的变化运动当中，尤其是在电磁学当中有着非常广泛的应用，后来更被应用于量子力学当中。

如今，复变函数是物理专业学生的基本计算技能，是物理系本科生，数学科目中的必修课。

结束语

虚数的应用还有很多，本文只是点到为止。我们需要记住的是，从数的角度来说，虚数拓展了数的空间，解决了很多高次方程的数学解的意义问题，而且还能解决很多几何问题。当然了，从物理的角度来说，它与实数一起构建了一个能够描述空间任意点的距离和方向的复数空间。任何与距离和方向有关的量都可以用复数来表示，而这正是物理要解决的基本问题。

很显然，虚数不“虚”，小伙伴们，你们GET到这个点了吗？关于虚数还有哪些实际应用，欢迎在下面的留言区中评论参与。

文/郭哥聊科学 图片来自网络侵删。