百年病态集论的症结：几百年将两异直线段误为同一线段

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

[摘要]将图片A放大为图片B∽A，A不能成为B的一部分；同样，将直线段A放大（拉伸）变为比A长的直线段 B～A，A不能成为B的真子集⊂B。“A⊂B”这一初等数学几百年函数、解析几何“常识”使康脱推出错上加错的更重大错误：直线段的部分元点可与全部元点一样多。图A≌A这一初等几何最最起码常识凸显放大（拉伸）变换前、后的直线必不重合——表明几何科普知识:“有无穷多个公共点的直线必重合”其实是将无穷多各异直线误为同一线。

[关键词]伪≌、伪重合直线（段）；将无穷多各异假R误为R；放大、缩小的相似变换

党中央非常重视科普工作。李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而科普文《数学科普：看图识破康脱百年“骗术”：“部分可=全部”》（见深圳科普网）指出集论是极荒唐谬论，所以“最伟大创造”其实是以讹传讹；集论是统治数学王国的国王，科普文将这国王“拉下马”了，但限于篇幅该文不得不漏掉了极为重要的论据，本科普短文是对该文的重大补充。教（读）书的科普知识：教（学）而不思是师生的大敌。学习前人知识是为了见前人所不能见以创造出前所未有的知识（杰出人才的特征），而非为了简单重复前人认识和应付考试。因本文的论据是数集最起码常识和初等几何最最起码常识，故中学生也有能力分辨本文是歪理邪说还是...。注：现在是互联网时代，俄罗斯一数学家获百万奖的论文只是发表在网上而没在纸质期刊上发表。

1.图A≌A这一初等几何最最起码常识凸显拉伸变换前、后的直线必不重合——推翻直线公（定）理和中学几百年函数“常识”

初等几何2300年“最起码常识”：有无穷多个公共点的直线必重合。据此有初中几何的直线公理即希尔伯特的《几何基础》中的公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。继而有……。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；其余类推。“实数集”R各元x均有对应标准实数2x、xⁿ（n≥2）等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。

本文中集合均至少有两元。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。可将本文中关于图形的论述全部去掉（即可没点与点集概念）而不作任何几何解释地仅凭数（数组）集相等、≌的定义证明两集是否相等是否≌。

数（点）集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B。本文最关键论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A。

天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一质点）。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，变数可形象化为g内动点。

复平面z=x+iy可放大成平面2z=2x+i2y=u+iv从而使z面的x轴被放大为u=2x轴。R各元x不保距变为y=1.001x组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴即x轴各元点x沿管道g不保距平移变为点x+δ=y=1.001x形成元为点y的y=1.001x轴即x轴拉伸（放大）变换为y=1.001x轴（不≌x轴）叠压在x轴上。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应数1.001x的全体是R），因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。显然R各元x只可与各对应数y=1.001x=x+0.001x∈｛y｝中的x一一对应相等而与各y=（1+0.001）x≈x本身一一对应近似相等：x↔1.001x≈x。在放大变换：x↔1.001x（>x>0）中显然当且仅当放大系数1.001变为1时才是恒等变换。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=1.001x（≈x）轴≠x轴。

如[1]所述，“一一对应”中的“一”的含义之一：一个不漏。“对R一个不漏的一切正数元x都有对应y=1.001x>x>0”就是说式中y>0可>R一切正数x而取R外数。所以R各元x的对应数y=1.001x∈｛y｝中必有y=1.001x是R外数而不可与R任何数x对应相等（从而使R各元x与各对应y=1.001x不可一一对应相等）。所以中学的“R各元x的对应数y=1.001x均∈R，”是违反不等式起码常识的一厢情愿。

在放大、缩小变换：x↔kx（↔两边的x是同一x）中当且仅当放缩系数（正常数）k=1时才是恒等变换（k≈1时是近似恒等变换），即当且仅当k=1时各x与各对应数kx才能一一对应相等。所以应有

h几何起码常识:至少有两个元点的图A均匀放大（缩小）变为B（不≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理。

“无界”的曲、直线互不≌从而更不相等。数学图形可是离散的点的点集。“无界”的“整数点集”Z={x=±n}（n∈“自然数集”N）={...，-2，-1，0，1，2，...（各数是数轴上点的坐标）}(可看成是“虚直线”：.......)各元点x=±n∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n形成｛±2n｝(虚直线)不≌Z从而更≠Z。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。

h定理1：数（点）集A=B的必要条件是A≌B。

证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。证毕。

据h定理1及h几何起码常识x轴即R轴A不保距地伸缩（放大、缩小）变为B（不≌A）≠A可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛（各线互不≌）；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：A。

据h定理1x轴即R轴各元点x不保距平移变为点y=x+δ=xⁿ (常数n是奇数3，5，... )生成元为点y的y=xⁿ轴（即x轴非均匀伸缩变换为y=xⁿ轴不≌x轴）≠x轴，中学几百年“y轴=x轴（即：R各元x的对应数xⁿ 的全体是R）”是肉眼直观错觉。...。同理中学一直将无穷多各互不≌的射线x≥0、y(x)=x^k≥0（正常数k≠1）、ψ(x)=kx≥0、...，误为同一线。...。可见h定理1使2300（300）年初等几何（解析几何）一直未能识的伪重合直（射）线一下子露出原形。

2.将两异直线误为同一线自然就会将两异直线段误为同一线段——百年病态集论的症结

人的骨头C得了骨质疏松病变为D，肉眼看C=D，但其实两者有根本区别。点集A与B是否≌不能凭肉眼直观而须严格证明,保距变换概念是能放大无穷大倍的思维显微（望远）镜。由3个点组成的A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这些点∈A，但其不保距地改变位置后形成的点集与A有不同的“长相”。

公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识与研究几何学的直线段起码已有3000多年。因直线由直线段组成故有伪≌、伪重合直线自然就有3000年都无人能识的伪≌、伪重合直线段。有人体穴位图A和B，A（B）中各穴位P（P′）到太阳穴P₀ (P₀′)的距离是变数ρ（ρ′）≥0，若B≌A则显然ρ′与ρ必是同一变数，P₀与P₀′互为合同对应穴。

h定理2：若点集A各元点x保距变为点y（x）生成B=｛y（x）｝≌A则A各点x到A任一固定点x₀的距离ρ=|x-x₀|=ρ′=|y（x）-y₀（x₀）|=B各元点y（x）到点y₀（x₀）（点y₀与点x₀互为合同对应点）的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。同理A与B≌A可是二、三维空间点集，…。

证：由A≌B的定义ρ′=ρ。同理…。证毕。

要注意水平闭直线段A≌B且A∥B中A的左端点与B的左端点不一定是合同对应点，将非合同对应点误为合同对应点就会得错误的结果。保距变换将直线段A的中心点变为新线段B≌A的中心点即若A≌B则A的中点与B的中点必互为合同对应点。

同一月亮肉眼看是光滑球体，用望远镜看却是另一形象；同样有两直线段肉眼看形状相同，思维显微镜下却形状各异。x轴可均匀拉伸（放大）变换为y=2x轴不≌x轴。中学有几百年函数“常识”：“定义域=[-1，1] ⊂R的y=2x的值域=[-2，2]⊂R”。直线段D=[-1，1]⊂x轴各元点x沿管道g不保距平移变为点x+δ=y=2x形成元为点y=2x的直线段Z=[-2，2]⊂y=2x轴即长为2的直线段D均匀放大变换为长为4的直线段Z～D。问题是“～D 的Z=Z′=[-2，2]⊂x轴”其实是肉眼直观错觉，Z与Z′（D⊂Z′）似是而非，两者是貌似重合的伪二重、伪≌点集。假设Z≌Z′成立则据h定理2相应的距离ρ=ρ′，然而Z=[-2，2]⊂y=2x轴各点y=2x到Z的中点y=0的距离ρ=|2x-0|=|2x|，Z′=[-2，2]⊂x轴各点x到Z′的中点x=0的距离ρ′=|x-0|=|x|≠ρ；故假设不成立即Z′不≌Z′，据h定理1 Z≠Z′。将长为2的直线段形橡皮筋A拉长成长为4的橡皮筋B，A不能成为B的一部分；同样，直线段D均匀放大变换为Z～D，D不可⊂Z即不可成为Z的一部分。中学的Z′=Z是使康脱误入百年歧途的重大核心错误：其使康脱推出康健离脱的病态“定理”： Z～D⊂Z。注：Z′不≌Z说明Z不可恒等变换（一种保距变换）地变为Z′=Z。

详论见拙文《初数几百年重大错误使康脱推出康健离脱的百年病态集论 ——让5000年都无人能识的标准无穷大自然数一下子浮出水面》  http://www.360doc.com/content/20/1129/00/70996036_948476928.shtml。

3.结束语

“肉眼”数学因目光太短浅从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学慧眼数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪^[6]”。

参考文献

[1]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。

[2]黄小宁。初等数学2300年之重大错误：将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J]，考试周刊，2018（71）:58。