证明e是无理数最美妙的方法

π和e是数学中随处看见，经常一起使用一起出现的两个神奇数字，前面我们用三角函数的的连分式证明了π是无理数。

本篇我们将会看到一个最简单而又最美丽的关于e是无理数的证明，在这个证明里我们用到的是e的这个无穷级数。

其中所有的阶乘的含义都是

注意每一个阶乘都是比它小的阶乘的倍数，后面我们会用到这个概念

我们要证明e是无理数了，我们首先假设e是分数a/b，a和b都是正整数，然后我们要证明这会导致矛盾，这样就说明我们的假设e是分数是错误的

我们假设e是分数（有理数），也就是a/b等于这个无穷级数

现在我们用分母b来定下一个中间项，把无穷级数分成两部分，第一部分是1/b!,加上无限的尾巴

我们上述已经说了任何阶乘是所有比它小的阶乘的倍数，我们能把这部分和加在一起，成为一个分母为b!的分数

且后面的的无限项是一个很小的数

首先这些项的分母都是公约数b!，我们拿出b!，这些东西显然都是正数和

我们很容易证明红色区域比等比级数的和1/b要小，有兴趣的朋友可以自己证明下

可以写成简明的形式

所以我们推出了a/b可以写成这个形式

这显然是不可能的，能更好的看出矛盾，我们给两边乘上b!

化简整理就得到

明显，左边是整数，右边是一个整数加上一个介于0到1之间的分数

这显然是完全不可能的，所以e是无理数，不能写成两个整数之比。

这个方法非常美妙，再次展现了数学的无穷魅力。