上帝说要有光,于是便有了麦克斯韦方程组!

上帝说要有光,于是便有了

克斯韦方程组

作为科学史上最伟大的公式,相信麦克斯韦方程组在各位CFDer的模拟中也起着十分重要的作用。

COMSOL模拟的液滴在电场作用下的融合过程

今天我们就来看看,这几个方程到底代表了什么意思?

首先,电场主要由电场线来描述,电场线不是闭合曲线,电场线始于正电荷或无穷远处终止于无穷远或负电荷、

电场线终于无穷远处 

电场线终于负电荷

想象我们随便画一个圈,那么只可能出现如下两种情况:

(1)如果没有包含电荷,那么进入和出去这个圈的电场线条数相等,也就是通过这个圈的电场线总条数为0;

(2)如果有包含电荷,那么通过这个圈的电场线条数不为0,而且正比于其包含的电荷量。

于是就有

磁感线都是闭合曲线 

而对于磁场而言,磁感线都是闭合的,所以进入和出去任意一个圈的磁感线条数都相等,也就是通过这个圈的磁感线总条数为0。

根据电磁感应,我们知道,变化的磁场可以产生电场,或者说能够产生电势。

电磁感应

具体机制如下图所示:

变化磁场方向与感生电场方向的关系(楞次定律)

任意闭合曲线的电势我们可以用电场强度沿这条曲线的积分来表示,而电势的大小肯定也可以用磁场变化率的面通量来表示(本来就是它产生的),于是就有了

这里负号主要是为了考虑磁场与电场的方向关系。

同样,反过来,变化的电场也可以产生磁场。除此之外,我们还知道,生活中还有电流,电流周围也可以产生磁场,于是就有了

显然,该方程之所以和上面的方程不够对称,就是因为生活中有电流但没有磁流,可惜啊可惜!也许大自然觉得对称中带点瑕疵的才是最美的吧!

这里需要说明一下,上述推导主要是基于真空下的情况,如果涉及具体介质,需要加入介电常数和磁导率进行修正,但是形式大同小异,不会影响我们对麦克斯韦方程组本质的理解。

麦克斯韦方程组最终整理如下:

麦克斯韦方程组积分形式

显然,对于CFDer而言,直接求解上述积分方程是非常不方便的,所以我们需要把它们转换成微分形式,这样才便于我们离散嘛!

麦克斯韦方程组微分形式

至于怎么转换的,不懂的可能需要复习一下关于梯度、散度以及旋度的知识了!(点击传送门

最后想说一句,就是对于我们大多数普通人而言:

理解一个方程一定要看它的积分形式,微分形式会把人看懵的!

相反,如果我们想要求解一个方程,一定要求解它的微分形式,积分形式会把人搞懵的!

这个结论不止对麦克斯韦方程组成立,对于流体力学、传热学等等领域全部适用,大家可以尝试一下!

电流体动力学案例PDF文件:
https://pan.baidu.com/s/13xvD9HKBssySTDNrLMG4kA
提取码: mfm7
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