垂径定理

在本单元中我们着重复习垂径定理及其推论(III)。

垂径定理：

如果圆的一条直径垂直于另一条弦，那么这条直径平分这条先，并且平分这条弦所对的弧。

垂径定理及其推论：

① 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径)，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

② 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。

③ 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

④ 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。

⑤ 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。

垂径定理在实际问题中的应用：赵州桥

利用垂径定理等分弧：

利用垂径定理推论：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

利用这条推论，我们可以将一段弧四等分、八等分、十六等分，以此类推。

圆材埋壁：

《九章算术》“勾股”章中的“圆材埋壁”问题：今有圆材埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？(即圆O表示圆材界面，CE是圆O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺=10寸，圆材的直径长就是CE的长.）

解析：本题利用了锐角三角比、垂径定理及相似三角形的相关性质。通过垂径定理，构造相关的直角三角形，借助锐角三角比以及勾股定理解决问题。

以上的5道练习选自各区县的二模试卷，对于垂径定理的问题，我们要牢记“二推二”的证明方式，当出现弦心距、弦中点、弧中点时，要考虑是否可以运用垂径定理解决问题。

垂径定理常见的添线方式是做弦心距或者连半径，通过构造直角三角形，利用勾股定理或者锐角三角比综合解决问题。