每日一题:两种方法解决中考几何难题
周末的时候遇到这道题,一共两个小题,第一小题算是送分部分,第二小题稍微有点难度。
(1)AE⊥BG,AB=AE,
AH=3,HE=1,
则AB=AE=4,
勾股定理得BH,
然后求△面积;
(2)有的同学可能觉得看图上DF=CE,然后连接EG,刚好组成等腰直角,可惜这终归是假象。千万不要根据图形去瞎想,一定要从条件入手。
有45°角,那么让证明根2倍的关系,首先就想到等腰直角三角形,
所以就需要构造等腰直角出来,
如果我们以CG为腰长来构造,
这样不知道交点的位置,所以比较困难。
那么将CG当作斜边来构造呢?
这样的话,△CMG就是等腰直角,
然而,这样一来,CG却是CM和CG的根2倍,
如果CM或者CG能够扩大2倍的话,
倍数关系就可以反过来了,
那么如何能够找到2倍的MG或者CM呢?
中位线?
除了点O哪还有中点呢?
那么仔细想想,在这个图形中,哪个地方能出现中点?
别忘了等腰△ABE,三线合一,不就有中点了吗
那么我们过A来一条垂线,
如图,我们作AN⊥BC于N,
这样一来,点N就是BE的中点了,
那么我们只需要证明BE=2MG=2CM即可,
或者换个角度,证明BN=NE=MG=CM即可,
那么证明线段相等,又不在同一个△中,首选全等,
那么直接看BN、NE、MG三个线段,都在直角三角形中,
所以再有一角一边相等即可,
我们就定BN和MG吧,
那么三角形就是△ABN和△BGM,
∠EBG+∠AEB=∠NAE+∠AEB,
∴∠EBG=∠NAE=∠BAN,
而∠NAC=∠ACB=45°,
∴∠BAC=45°+∠BAN,
而∠AGB=45°+∠CBG,
所以∠BAC=∠AGB,
那么AB=BG,
so,再加上两个直角,
两个三角形全等,
全等之后,BN=MG
则BE=2MG,
别忘了,BE和DF是相等的,只要连接CF证□AECF可得,
那么DF=2MG,
而CG=√2MG,
所以结合二者,
可得结论。
这其实是八年级题目,所以对于九年级同学来说,中考准备的如何,能否搞定这道题就可以看得出来。
那么再来一种不常用的方法吧。
建立坐标系,
假设AN=a,BN=NE=b,
那么A、B、C、E坐标可得,
然后求出直线AE、AC的解析式,
再由AE⊥BG,求出BG的解析式,
结合AC求出点G的坐标,
刚好点G的横坐标与点M的横坐标一致,
可得CM的长度为b,则CG长度可得,
那么DF=BE=2b,
可得CG与DF关系。
该方法不用全等,但要舍得动手计算。