四维形式的狭义相对论及其动力学

在前一章《闵氏空间和洛伦兹变换》中我们已经介绍了闵氏几何和四维语言，在本章中我们将使用前一章介绍的四维语言来描述狭义相对论及其动力学。

固有时（proper time）

假设给定两个事件，我们知道这两个事件发生的时间间隔在不同的参考系中看是不一样的，它们之间通过洛伦兹变换来联系。

我们选取一个特殊的参考系，使得在这个参考系中看，这两个事件是发生在同一空间点的，我们把在这个参考系中测到的两个事件的事件间隔称为这两个事件的固有时，记作 ，这也就是静止于该参考系的钟所测到的时间间隔。

需要注意的是，虽然我们是利用了一个特殊的参考系来定义固有时，但是固有时本身的值和参考系无关，也就是说，所有的观者测量到的两个事件的固有时是相同的。

根据固有时的定义和四维时空间隔的不变性，我们有

另一方面

从而我们得到了固有时 和坐标时 之间的关系

因为 所以 。

这告诉我们，对于确定的两个事件，在那个两个事件空间坐标相同的参考系去测到的时间间隔是最短的，换句话说，固有时最短。

四维坐标，四维速度，四维加速度

在前一章《闵氏空间和洛伦兹变换》中，我们已经证明了把时间和三维空间矢量放在一个可以构成一个4-矢量：

称为四维坐标矢量。

我们把四维坐标矢量对固有时的导数定义为四维速度矢量：

其中 是三维速度。利用定义容易证明，四维速度的内积是一个不变量：

我们把四维速度矢量对固有时的导数定义为四维加速度矢量：

其中 是三维加速度。利用四维速度的内积是个常数，我们可以证明四维速度和四维加速度是正交的：

显然，根据定义，四维速度和四维加速度都是4-矢量，它们在洛伦兹变换 下的行为和四维坐标矢量完全一样：

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现在我们知道引入这些四维矢量的好处了：

根据 在洛伦兹变换下的变换规则，我们固然可以导出三维速度和三维加速度在洛伦兹变化下的变换规则。

但是这样做表达式会异常繁琐，因为这些三维量都不是洛伦兹协变的，而上面定义的四维速度和四维加速度在洛伦兹变换下的行为相当简单，它们都是洛伦兹协变的。

四维动量，质能方程

接下来我们转入动力学的研究。仿照三维动量的定义，我们把一个质量为 的粒子的四维动量定义为其质量和其四维速度的乘积，同时，我们把四维动量的第一个分量称为能量（除以光速），后面三个分量称为三维动量：

于是我们得到能量和三维动量的表达式：

四维动量的内积也是一个不变量：

从而有

上式就是最一般形式的质能方程。

对于质量为零的粒子（比如光子），我们有 ；

对于静止的粒子，我们有 。

不变量和守恒量

接下来我们来辨析两个非常重要的概念：不变量和守恒量。

不变量指的是在洛伦兹变换下不变的量，意思是在一个惯性参考系中测到的值和另一个惯性参考系中测到的值是一样的，不变量的值不依赖于参考系。

任意两个4-矢量的内积就是不变量，例如：四维时空间隔（四维坐标的内积），光速（四维速度的内积），质量（四维动量的内积），等等。

守恒量指的是在一个反应过程前后不发生改变的量，连续的对称性对应守恒量，例如能量（对应时间平移不变），动量（对应空间平移不变），角动量（对应空间转动不变），等等。

不变量和守恒量并没有必然的联系，不变量不一定守恒，守恒量不一定不变。

让我们来举一个高中物理中就熟悉的例子：一个质子和一个中子结合成一个原子核。我们知道在这个过程中结合后原子核的质量是小于结合前质子的质量加上中子的质量的，这称为质量亏损，表明在这个过程前后系统的质量并不守恒，所以质量不是守恒量。

但是我们还知道在这个过程中系统还会放出能量，前面亏损掉的质量利用上面的质能方程折算成能量后正好等于放出的能量，所以这个过程前后能量是守恒的。

另一方面，能量显然不是不变量，这从能量的表达式 就可以看出来：在一个相对粒子静止的参考系（ ）和在一个相对粒子运动的参考系（ ），所测量到的粒子的能量显然是不同的，所以能量不是不变量。

概括一下，质量是不变量却不是守恒量，能量是守恒量却不是不变量。

四维力，四维牛顿定律

我们把四维力定义为四维动量对固有时的导数：

其中 是三维力。上式第二个等号实际上也就是四维形式的牛顿运动定律。我们来看看这个方程的4个分量分别代表什么含义。

0-分量：代表了能量守恒定律

i-分量(i=1,2,3)：代表了牛顿第二定律

所以，四维形式的牛顿运动定律同时包含了能量守恒定律和牛顿第二定律。