第1讲　三角函数的图象与性质 / 开普饭

第1讲　三角函数的图象与性质

高考定位　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真题感悟

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝2/3，则|a－b|＝(　　)

2.(2019·全国Ⅱ卷)若x₁＝π/4，x₂＝3π/4是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A.2 B.3/2

C.1 D.1/2

解析　由题设知，函数f(x)的最小正周期

解得ω＝2.

答案　A

3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A.π/4 B.π/2

C.3π/4 D.π

4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π2))－3cos x的最小值为________.

考点整合

1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数	y＝sin x	y＝cos x	y＝tan x
图象
递增区间	[2kπ-π/2，2kπ＋π/2]	[2kπ－π，2kπ]	(kπ-π/2，kπ＋π/2)
递减区间	[2kπ+π/2，2kπ＋3π/2]	[2kπ，2kπ＋π]
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
对称中心	(kπ，0)	(kπ＋π/2，0)	(kπ+π/2，0)
对称轴	x＝kπ＋π/2	x＝kπ
周期性	2π	2π	π

2.三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

(1)y＝sin x――――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位

热点一　三角函数的定义与同角关系式

【例1】 (1)在平面直角坐标系中，

是圆x²＋y²＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　)

(2)如图，以Ox为始边作角

终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为

则

探究提高　1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.

2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

【训练1】 (1)(2019·济南质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点

则sin(π＋α)等于(　　)

(2)(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点(a，2a)(a≠0)，则cos 2θ＝(　　)

A.－4/5 B.－3/5

C.3/5 D.4/5

热点二　三角函数的图象

【例2】 (1)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且

(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π/2)的部分图象如图所示，若x₁，x₂∈

x₁≠x₂且f(x₁)＝f(x₂)，则f(x₁＋x₂)＝(　　)

答案　(1)C　(2)D

探究提高　1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.

【训练2】 (1)(2019·长郡中学联考)要得到函数y＝3cos²x＋sin xcos x－)3/2的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A.向左平移π/12个单位 B.向右平移π/12个单位

C.向左平移π/6个单位 D.向右平移π/6个单位

(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，π/2)≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝5/2，将f(x)的图象向右平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)

答案　(1)C　(2)B

热点三　三角函数的性质

角度1　三角函数性质

【例3－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos²x－sin²x＋2，则(　　)

A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

(2)设函数f(x)＝cos(x+π/3)，则下列结论错误的是(　　)

A.f(x)的一个周期为－2π

B.y＝f(x)的图象关于直线x＝8π/3对称

C.f(x＋π)的一个零点为x＝π/6

D.f(x)在(π/2，π)上单调递减

解析　(1)易知f(x)＝2cos²x－sin²x＋2＝3cos²x＋1＝3cos 2x＋12＋1＝32cos 2x＋52，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.

(2)根据函数解析式可知f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为

－2π，A项正确.

当x＝8π/3时，x＋π/3＝3π，所以cos(x＋π/3))＝－1，所以B项正确.

f(x＋π)＝cos(x＋4π/3))，当x＝π/6时，x＋4π/3＝3π/2，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；

f(x)在(π/2,3/π)上单调递减，在(2π/3，π)上单调递增，故D项不正确.

答案　(1)B　(2)D

探究提高　1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.

2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间).

角度2　三角函数图象与性质的综合应用

【例3－2】 (2019·湖北八校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<π/2)在它的某一个周期内的单调递减区间是[5π/12，11π/12].将y＝f(x)的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的1/2(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x).

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)在区间0，\f(π4))上的最大值和最小值.