完整推导泰勒公式
泰勒公式分为两部分：
上个视频中，我们介绍了泰勒公式中的多项式部分如何利用奇偶函数的性质，逼近曲线 的：
但系数是多少，余项又是什么都没有交代：
这篇文章就来回答这两个问题。
让我们将泰勒公式展开：
泰勒公式的多项式系数是本文要求的，是未知的，所以将它们用 来代替
这样，我们要求的就是， 以及
很显然现在是求不出来的，我们必须根据多项式不断逼近光滑函数的思想对余项 做出假设。
再根据假设来推导出各个系数的值。
下面来讲述细节。
为了叙述方便，我们 表示余项：
下面来观察随着泰勒公式的展开，余项会发生什么变化。
3.1 零次展开
泰勒公式的零次展开为
其中，多项式部分( )为过展开点的一条横着的直线：
零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 ：
3.2 一次展开
泰勒公式的一次展开为
此时，多项式函数( )为一条斜着的直线：
相应的，一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 ：
可以看到差值在缩小，也就是 3.3 二次展开
同样的道理，泰勒公式二次展开时，多项式为二次函数：
该多项式函数为过展开点的二次曲线：
此时，二次展开的多项式函数与光滑函数的差值为余项 ：
差值继续缩小，也就是 3.4 次展开
泰勒公式 次展开时，多项式为 次函数：
对应的图像为过展开点的 次曲线：
此时，多项式函数与光滑曲线的差值为余项 ：
3.5 余项的趋势
用 表示从零次展开到 次展开的余项。
可以看到，随着多项式的展开，余项在不断减小。
找到余项这个规律，下面我们尝试用数学符号把余项表示出来。
将 附近范围的半径用 表示：
4.1 零次展开
零次展开时的余项是 ：
此时可以看到，在 不断缩小时， 都在不断靠近零：
由此可以假设 是关于 的无穷小，用 表示：
则此时泰勒公式展开为：
4.2 一次展开
一次展开后，多项式为一条斜着的直线，余项也随之缩小
要达到上图的目的，需要在零次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将 展开为 ，其中 ：
上面的等式右侧验证一下就知道的确是 的同阶无穷小：
所以一次展开后的泰勒公式为： 上面的展开结果可以用图表示为：
4.3 二次展开
二次展开后，多项式为二次曲线，余项也随之缩小
要达到上图的目的，需要在一次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将 展开为 ，其中 ：
上面的等式右侧验证一下就知道的确是 的高阶无穷小：
所以二次展开后的泰勒公式为： 上面的展开结果可以用图表示为：
4.4 次展开
不断重复上面的思路，不断拆分余项，拆分 次后可以假设余项为 ,这样泰勒展开式为
4.5 小结
前面我们根据多项式不断靠近光滑函数，假设出了各个余项 下面我们就要根据这个假设来推导多项式的系数了 5 系数
求解系数之前，我们首先用 把 进行替换
5.1 计算
下面根据式一的第(1)行计算
5.2 求解
将 带入式一种的第(2)行，可以得到：
带入式一的第(3)行可得(运算中用到洛必达):