正方形想说爱你不容易

之前在3月2号刚写过以正方形为被景的解题技巧初探，对比这两道题，有很多相似的地方，也有不 同的地方，有兴趣的亲可以对比去看.我们首先看第一问，证AF=MF，因为两条线段在同一个三角形中，故可以考虑证其为等腰三角形，即求角AMF=45°，故目标锁定.如何求角，全等相似圆是我们常见的解题思路，题中好像不好找全等，那么可找相似，除此外还要找45°角，故我们可以考虑证三角形BEA相似三角形MEF，这是一个典型的8字型相似，怎么证？没有两组角相等，所以应考虑证两组边成比例且夹角相等，于是有以下证法：

这个证法比较常规，是我们容易想到的，但还有其它思路没有呢？答案是显然的哈，因为角FBM=45°＝角MAN，且角FBM与角MAN都对着线段MF，故可知A、B、M、F四点共圆，于是有解法2，具体过程如下：

对比两种解法，显然法2是不是更简洁，故我们需要加强隐圆的学习，这会给我们带来巧妙的解法.

那么我们来看第二问，如何找EF与MN的关系？这个的确不好想？仔细琢磨正方形中的45°，与半角模型和相似精密联系起来，这里我们首先思考根号2何处有？正方形中自然是对角线与边之比，故我们可以考虑连结AC来看一看.如下图所示：

我们瞬间发现两组相似三角形，并且会出现根号2的关系，且与线段EF联系的起来，具体过程如下：

此时，我们发现只要能说明MN=BM+DN就可以证明了，是不是想笑了，这不就是我们常说的半角模型吗？只需旋转就可以搞定了，具体过程如下：

至此，我们发现大功已告成，最后一步自然是：

这个题的解法是不是不容易想到？其实不然，我们若能准确的扑捉到根号2这个数据在正方形中的位置，自然想到连对角线，再利用正方形对角线互相垂直和45°角导出相似，另外平时我们注意积累基本模型，对半角模型熟悉，自然是水到渠成.但这个题还有其它解法没有呢？自然肯定的，这里明显有A字型，故可以考虑从相似入手，当然前面几步是一样的，只是后面明显要简单很多，具体过程如下：

通过第二问的两种解法，我们可以看平时对知识的积累和总结真的特别重要，尤其是基本模型的识别，是我们解题的利器.

终于我们走到了最后一问，我们常说哪里有比值，哪里有巧设，故这里可设出BE和DF的长，再利用半角模型求出EF的长，同时我们可以求出AF与CN的值，比值自然现，具体过程如下：

解完上面的方法后，还有没有其它方法呢？其实也很明显有，一是通过相似可以求CN,那么就可以通过相似求CM，而CN、CM恰好是直角三角形的两条直角边，比值自然知道，那么我们就要眼中有比，心中有角去思考，具体过程如下：