宇宙的形状非常不可思议——理解复杂的宇宙几何结构
当你凝视夜空时，空间似乎向四面八方无限延伸。这是我们对宇宙的心理模型，但它不一定是正确的。毕竟，有一段时间，每个人都认为地球是平坦的，因为我们的星球的曲率太微妙以至于无法检测到，而球形的地球却是不可思议的。
今天，我们知道地球的形状像一个球体。但是我们大多数人很少考虑宇宙的形状。正如球体提供了一个平面地球的替代品，其他三维形状也提供了“普通”无限空间的替代品。
关于宇宙的形状，我们可以提出两个相互独立但又相互关联的问题。一个是关于它的几何形状：对角度和面积等细节的局部测量。另一个是关于它的拓扑结构：如何将这些局部片段缝合在一起形成一个总体形状。
宇宙学证据表明，我们能看到的那部分宇宙是平滑的。空间的局部结构在每个点和每个方向上看起来都是一样的。只有三种几何图形符合这种描述：平面、球面和双曲线。让我们来探索这些几何图形，一些拓扑方面的考虑，以及宇宙学证据说明哪些形状最能描述我们的宇宙。
平面几何图形
这是我们在学校学的几何。三角形的内角和为180度，圆的面积为πr^2。平面三维形状最简单的例子是普通的无限空间——数学家们称之为欧几里得空间——但也有其他的平面形状需要考虑。
这些形状很难想象，但是我们可以通过二维而不是三维来建立一些直觉。除了普通的欧几里得平面外，我们还可以通过切割平面的某些部分并将其边缘粘在一起来创建其他平面形状。例如，假设我们剪下一张长方形的纸，把它的对边粘起来。在顶部和底部边缘贴上胶带，我们就得到了一个圆柱体：
接下来，我们可以把左右两边粘起来，得到一个“甜甜圈”(数学家们称之为圆环面)：
现在，你可能会想，“这在我看来并不平坦。你是对的。我们在描述平面环面如何工作时做了一点手脚。如果你真的想用这种方法在一张纸上做出一个环面，你会遇到困难。制作圆柱体很容易，但是用胶带绑住圆柱体的两端是行不通的：纸会沿着环面的内圈被压皱，而沿着外圈被拉长的距离也不够。你得用一些有弹性的材料来代替纸。但是这种拉伸扭曲了长度和角度，改变了几何形状。
在普通的三维空间中，没有办法在不扭曲平面几何形状的情况下，用平面材料构建一个真实的、平滑的物理环面。但我们可以抽象地推断出生活在平面环面上的感觉。
想象你是一个二维的生物，它的宇宙是一个平面的环面。因为这个宇宙的几何结构来自于一张平面的纸，我们习惯的所有几何事实都和平常一样，至少在小范围内是这样的：三角形的内角和是180度，等等。但我们通过切割和粘贴对拓扑结构所做的改变意味着，生活在环面上的体验将与我们过去习惯的感觉大不相同。
对于初学者来说，环面上有一些笔直的路径可以绕一圈，然后回到它们开始的地方：
这些路径在一个扭曲的环面上看起来是弯曲的，但是对于平面环面上的居民来说，他们感觉是直的。因为光是沿着直线传播的，如果你直视这些方向中的一个，你会从后面看到你自己：
在最初的那张纸上，你看到的光好像是从你身后经过，直到它击中左手边，然后又出现在右手边，就好像你在玩一个环绕式的电子游戏：
同样的思考方法是，如果你(或一束光)穿过四个边中的一个，你会出现在一个新的“房间”里，但实际上是同一个房间，只是从一个新的有利位置看过去。当你在这个宇宙中漫步时，你可以穿越到无数个你原来房间的复制品中。
这意味着你也可以从不同的方向看到无限多不同的自己。这是一种大厅的镜子效果，除了你的复制品不是反射：
在'甜甜圈'0上，它们对应着许多不同的回路，通过这些回路，光可以从你身上回到你身上：
类似地，我们可以通过粘住立方体或其他盒子的相反面来构建一个平面的三维环面。我们不能把这个空间想象成普通无限空间中的一个物体——它根本就不适合——但我们可以抽象地推断出它里面的生命。
就像二维环面中的生命就像生活在一个由无数个相同的矩形房间组成的二维数组中一样，三维环面中的生命就像生活在一个由无数个相同的立方房间组成的三维数组中一样。你会看到无数个你自己的复制品：
三维环面只是10个不同的平面有限世界中的一个。也有平面的无限世界，如三维模拟的无限圆柱。在每个世界里，都有不同的镜厅阵列供您体验。
我们的宇宙是这些其他扁平形状之一吗？
当我们向太空望去，我们看不到无数个我们自己的复制品。即便如此，要排除这些平面形状还是相当困难的。首先，它们都具有与欧几里得空间相同的局部几何性质，因此没有任何局部测量可以区分它们。
如果你确实看到了自己的复制品，那么那个遥远的图像就会显示出你(或者你的星系)在遥远过去的样子，因为光线要经过很长时间才能到达你那里。也许我们在那里看到的是我们自己无法辨认的复制品。更糟糕的是，不同的自我通常会离你有不同的距离，所以他们中的大多数看起来都不一样。也许它们离我们太远了，我们根本看不见。
为了克服这些困难，天文学家们通常不是寻找我们自身的复制品，而是寻找我们所能看到的最遥远事物的重复特征：大爆炸后不久遗留下来的宇宙微波背景辐射(CMB)。在实践中，这意味着在CMB中寻找具有匹配的热点和冷点模式的圆对，这表明它们实际上是从两个不同的方向看到的同一个圆。
2015年，天文学家利用普朗克太空望远镜的数据进行了这样的研究。他们对数据进行了梳理，寻找我们期望在平面三维环面或另一种称为平板的平面三维形状中看到的相匹配的圆，但他们没有找到。这意味着，如果我们生活在一个环面上，它可能是如此之大，以至于任何重复的模式都在可观测的宇宙之外。
球面几何学
我们都熟悉二维的球体——一个球的表面，或一个橘子的表面，或地球的表面。但我们的宇宙是一个三维球体意味着什么呢？
很难想象一个三维球体，但是通过一个简单的类比就可以很容易地定义一个。就像二维球体是所有点的集合与普通三维空间中某个中心点的固定距离一样，三维球体是所有点的集合与四维空间中的某个中心点有着固定距离。
在三维空间里的生活和在平面空间里的生活感觉非常不同。为了感受一下，想象你是一个生活在二维球体中的二维生物。二维的球体就是整个宇宙——你无法看到或进入周围的任何三维空间。在这个球形的宇宙中，光沿着最短的可能路径传播：大圆。对你来说，这些大圆圈就像直线。
现在想象一下，你和你的二维朋友在北极闲逛，你的朋友去散步。当你的朋友走开的时候，一开始他们在你的视野里会越来越小，就像在我们平常的世界里一样(尽管他们不会像我们习惯的那样迅速缩小)。这是因为随着你的视野范围的扩大，你的朋友所占的比例越来越小：
但是一旦你的朋友越过赤道，奇怪的事情就发生了：他们离你越远，就越看起来大。这是因为他们在你的视觉范围内所占的比例在增加：
当你的朋友离南极10英尺远的时候，他们看起来和离你10英尺远的时候一样大：
当它们到达南极时，你可以从各个方向看到它们，所以它们填满了你的整个视野：
如果南极没有人，你的视野会变得更加陌生：看到你自己。那是因为从你身上发出的光会绕着球体转一圈，直到它回到你身上。
这直接延续到三维球体中的生命。三球上的每个点都有一个相对的点，如果那里有一个物体，我们会把它当作整个背景，就好像它是天空一样。如果那里什么都没有，我们就会把自己当作背景，就好像我们的外部被一个气球所覆盖，然后从里到外膨胀成整个地平线。
虽然三球体是球面几何的基本模型，但它并不是唯一的空间。就像我们从欧几里得空间中切出一大块来构建不同的平面空间并将其粘合在一起一样，我们也可以通过粘合三球体中合适的一块来构建球形空间。与环面一样，每一个粘在一起的形状都有镜面效果，但在这些球形形状中，只有有限的房间可以通过。
我们的宇宙是球形的吗？
即使是最自恋的人也不会把自己当成整个夜空的背景。但是就像平面环面一样，仅仅因为我们没有看到一个现象，并不意味着它不存在。球形宇宙的周长可能比可观测宇宙的大小还大，使得背景太远而看不见。
但与环面不同的是，球形宇宙可以通过纯粹的局部测量来探测。球面形状与无限欧几里德空间的区别不仅在于它们的全局拓扑结构，还在于它们的细粒度几何结构。例如，因为球面几何中的直线是大圆，所以三角形比欧几里得的三角形更“蓬松”，它们的角加起来超过180度：
事实上，测量宇宙三角形是宇宙学家检验宇宙是否弯曲的主要方法。对于宇宙微波背景中的每一个冷热点，它的直径和与地球的距离都是已知的，形成了一个三角形的三面。我们可以测量这个点在夜空中的角度——三角形的三个角之一。然后我们可以检查边长和角度的组合是否适合平面、球面或双曲几何(其中三角形的角度之和小于180度)。
大多数这样的测试，连同其他的曲率测量，表明宇宙要么是平坦的，要么非常接近平坦。然而，一个研究团队最近提出，普朗克空间望远镜2018年发布的某些数据指向的是一个球形宇宙，尽管其他研究人员反驳说，这一证据很可能是统计上的侥幸。
双曲几何
不像球体本身是向内弯曲的，双曲几何是向外张开的。它是由“松软的帽子”、珊瑚礁和马鞍组成的几何图形。双曲几何的基本模型是无限的空间，就像平坦的欧几里得空间。但是由于双曲几何比平面几何向外扩张的速度快得多，所以即使是二维双曲平面也无法在普通的欧几里得空间中拟合，除非我们愿意扭曲它的几何形状。例如，这里是一个被称为庞加莱圆盘的双曲平面的变形图：
从我们的角度来看，边界圆附近的三角形看起来比中心附近的小得多，但是从双曲几何的角度来看，所有的三角形大小都是一样的。如果我们试图使三角形大小相同,也许用有弹性的材料对我们的磁盘和膨胀每个三角形反过来,从中心向外工作——我们的磁盘将开始像软盘帽扣越来越向外为我们工作。当我们接近边界时，这种弯曲就会失去控制。
从双曲几何的角度来看，边界圆与任何内点的距离都是无限远的，因为你必须穿过无穷多个三角形才能到达那里。双曲平面向四面八方无限延伸，就像欧几里得平面一样。但就局部几何而言，双曲平面中的生命与我们所习惯的非常不同。
在一般的欧几里得几何中，圆的周长与半径成正比，但在双曲几何中，圆周长与半径成指数关系。我们可以看到，在双曲圆盘边界附近的大量三角形中存在指数堆积。
由于这个特性，数学家们常说在双曲空间中很容易迷失方向。如果你的朋友在普通的欧几里得空间里离你而去，他们会开始看起来更小，但很慢，因为你的视觉圈并没有增长得那么快。但在双曲空间中，你的视觉圈呈指数级增长，所以你的朋友很快就会缩小成指数级的小点。如果你没有仔细地跟踪你朋友的路线，以后几乎不可能找到他们。
在双曲几何中，三角形的内角和小于180度，例如，在我们的庞加莱圆盘的平铺中，三角形的内角和为165度：
这些三角形的边看起来不直，但那是因为我们通过一个扭曲的镜头来观察双曲几何。对于居住在庞加莱圆盘上的人来说，这些曲线就是直线，因为从A点到B点最快的方式是走一条通向中心的捷径：
有一种很自然的方法可以制作一个三维的庞加莱圆盘模型——简单地制作一个三维球体，然后用三维形状填充它，当它们接近边界球体时，就会变小，就像庞加莱圆盘上的三角形一样。就像平面几何和球面几何一样，我们可以通过切割三维双曲球的合适部分并将其表面粘合在一起，从而得到其他三维双曲空间的组合。
我们的宇宙是双曲线吗？
双曲几何，以其狭窄的三角形和指数增长的圆圈，似乎不适合我们周围空间的几何形状。事实上，正如我们已经看到的，到目前为止，大多数宇宙测量似乎都倾向于平坦的宇宙。
但我们不能排除我们生活在一个球形或双曲线世界的可能性，因为这两个世界的小块看起来几乎是平坦的。例如，在球面几何中，小三角形的内角和仅略大于180度，而在双曲几何中，小三角形的内角和仅略小于180度。
这就是为什么早期的人们认为地球是平的——在他们能够观察到的尺度上，地球的曲率太小而无法探测到。球形或双曲线形状越大，每个小块平坦的，所以如果我们的宇宙是一个非常大的球形或双曲线形状，我们可以观察到的部分可能是如此接近平面，以至于其曲率只能通过我们尚未发明的超精密仪器检测。