从2维空间到26维空间，“维度”如何影响我们的世界的？
我们的建筑、教育和字典告诉我们，空间是三维的。《牛津英语词典》将其定义为“一个自由的、可利用的或未被占用的连续区域或广阔区域……高度、深度和宽度的维度，所有事物都在其中存在和移动。”“在18世纪，伊曼努尔·康德认为三维欧几里德空间是一种先验的必要条件。并且随着我们在计算机生成的图像和视频游戏中所处的状态，我们不断受到看似公理的笛卡尔网格的表示。从21世纪的角度来看，这似乎是不言而喻的。
然而，我们居住在一个具有任何数学结构的空间，这是西方文化的一项根本性创新，有必要推翻长期以来对现实本质的信念。尽管现代科学的诞生常被认为是向自然的机械论解释的过渡，但更重要的可以说是它在我们把空间看作几何结构的观念中所带来的转变。
在过去的一个世纪里，描述空间几何的探索已经成为理论物理学的一个主要课题，从阿尔伯特·爱因斯坦开始的专家们都试图把自然界的所有基本力量解释为空间本身形状的副产品。现实生活中，我们被训练成认为空间是三维的，广义相对论描绘了一幅四维宇宙的图画，弦理论说它有10个维度，或者M理论则为11个维度。最近，纯数学家描述一个24个维度的空间，这让他们兴奋不已。但是这些“维度”是什么呢？谈论一个10维的空间意味着什么？
为了进入关于空间的现代数学思维模式，首先必须将其视为物质可能占据的某种舞台。至少，必须将“空间”视为扩展的东西。尽管在我们看来这似乎很明显，但这样的想法是对亚里士多德的诅咒，他关于物质世界的概念在古代晚期和中世纪统治着西方的思想。
严格地说，亚里士多德的物理学不包括空间理论，只包括空间的概念。想象一个放在桌子上的杯子。对亚里士多德来说，杯子被空气包围，空气本身就是一种物质。在他的世界图景中，并没有真空这种东西，只有一种物质——杯子和另一种物质——空气之间的边界。。对亚里士多德来说，“空间”仅仅是杯子和它周围事物之间极其细微的界限。没有扩展，空间就不可能有其他任何东西。
在亚里斯多德之前的几个世纪，留基伯和德谟克利特提出了一个关于现实的理论，该理论激发了一种内在的空间化的观察方式——一种“原子论”的视角，即物质世界是由在真空中移动的微小粒子(或原子)组成的。但亚里士多德拒绝原子论，声称虚无的概念在逻辑上是不连贯的。他说，根据定义，“虚无”是不可能的。要克服亚里士多德对空间的反对，从而克服扩展空间的概念，需要几个世纪的努力。直到伽利略和笛卡尔在17世纪早期把扩展空间作为现代物理学的基石之一，这种创新的观点才有了自己的一席之地。对于这两位思想家，正如美国哲学家埃德温·伯特在1924年所说，“物理空间被认为与几何领域相同”——也就是说，我们现在在学校里学习的三维欧几里德几何。
早在物理学家接受欧几里得的观点之前，画家们就已经率先提出了空间的几何概念。正是由于他们，我们的概念框架才有了这一显著的飞跃。在中世纪后期，在柏拉图和毕达哥拉斯(亚里士多德的主要学术对手)的影响下，一种观点开始在欧洲传播开来：上帝根据欧几里得几何学的法则创造了世界。因此，如果艺术家想要真实地描绘它，他们应该在他们的表现策略上模仿创作者。从14世纪到16世纪，像乔托、保罗·乌切罗和皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡这样的艺术家发展了后来被称为透视法的技术——一种最初被称为“几何形体”的风格。-通过自觉探索几何原理，这些画家逐渐学会了如何在三维空间中构建物体的形象。在这个过程中，他们改变了欧洲人的思维方式，以欧几里德的方式来看待太空。
历史学家塞缪尔·埃格顿在《乔托的几何学传承》中对现代科学进行了出色的论述，指出亚里士多德式的空间思考是如何被推翻的，这在一定程度上是由于人们长期，缓慢地产生副产品，他们站在透视绘画和感觉的面前，仿佛他们正在“浏览”三维世界。这里的非凡之处在于，尽管哲学家和原始科学家谨慎地挑战亚里士多德关于空间的理论，但艺术家们却通过诉诸感官，在这个知识领域大刀阔斧。透视表示是一种虚拟现实形式，就像今天的VR游戏一样，旨在给观众一种幻觉，认为它们已经被运送到几何上连贯且在心理上令人信服的其他世界。
“真实”的结构从哲学和神学的问题变成了几何命题
笛卡尔和伽利略将欧几里得空间逐渐烙印到欧洲意识中，被其视为现实世界的空间。值得补充的是，伽利略本人接受过透视训练，他开创性的月球图纸中的一个关键特征，该图纸描绘了山脉和山谷，并暗示月球与地球一样坚固。
通过采用透视成像的空间，伽利略可以展示像炮弹这样的物体是如何根据数学定律运动的。空间本身是一种抽象概念，是一种没有特征、没有活动、不可触摸、不可感知的空间，它唯一可知的性质就是它的欧几里得形式。到17世纪末，艾萨克·牛顿已经将这种伽利略式的观点扩展到了整个宇宙，而整个宇宙现在变成了一个潜在的无限的三维真空——一个无边无际的、毫无质量可言的、永远向四面八方延伸的真空。这样，“实在”的结构就从哲学和神学的问题变成了几何的命题。
在“科学革命”的初期，画家们曾使用数学工具来开发新的图像生成方法，而笛卡尔却发现了一种方法来生成数学关系及其自身的图像。在这个过程中，他正式提出了一个维度的概念，不仅给我们的意识注入了一种看待世界的新方式，而且还注入了一种进行科学研究的新工具。
今天，几乎所有人都可以从笛卡尔平面图像中认识到笛卡尔的天才成果，带有x和y轴标记的矩形网格以及坐标系。
我们可以在这个平面上画出的大量图形，这些图形都可以用方程来描述。这样的“笛卡尔”几何很快就会成为牛顿和莱布尼茨进一步分析运动而发展的微积分的基础。理解微积分的一种方法是研究曲线；例如，它使我们能够正式定义曲线最陡峭的位置，或曲线达到局部最大值或最小值的位置。当应用到运动的研究中，微积分为我们提供了一种分析和预测的方法，例如，一个物体抛向空中将达到最大高度，或者一个球滚下弯曲的斜坡将达到特定的速度。自从微积分发明以来，它已经成为几乎每一个科学分支的重要工具。
考虑到前面的图表，很容易看出我们如何添加第三个轴。因此，通过x轴、y轴和z轴，我们可以描述一个球体的表面。这里的方程(对于半径为1的球体)变成：x^2 + y^2 + z^2 = 1
用三个轴，我们可以描述三维空间的形式。同样，每个点都是由三个坐标唯一确定的：这是三维空间的必要条件。
但为什么止步于此呢？如果我加入第四个维度呢？我们叫它p。现在我可以写出一个方程来表示一个四维空间中的球：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 = 1。我不能画出这个物体，但是从数学上来说，增加另一个维度是合理的。“合理”的意思是这样做没有任何逻辑上的矛盾——我没有理由不能这样做。
“维度”成为一个纯粹的符号概念，与物质世界没有必然的联系
我可以继续，增加更多的维度。所以我在五维空间中定义了一个球，它有五个坐标轴(x, y, z, p, q)：x^2 + y^2 + z^2+ p^2 + q^2 = 1。六维空间中的一个：x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + q^2 + r^2 = 1等等。
尽管我可能无法想象出高维球体，但我可以用象征的方式来描述它们，而理解数学历史的一种方式是，把它理解为一种正在展开的认识，即我们可以超越那些看似合理的事物。这就是查尔斯·道奇森，在《爱丽丝梦游仙境：镜中奇案》(1871年)中，他让白王后声称她有能力相信“早餐前的六件不可能的事”。
数学上，我可以用任意维数来描述一个球体。我所要做的就是不断添加新的坐标轴，数学家们称之为“自由度”。通常，它们被命名为x1, x2, x3, x4, x5, x6等等。就像笛卡尔平面上的任何点都可以用两个(x, y)坐标来描述一样，17维空间中的任何点都可以用17个坐标来描述(x1, x2, x3, x4, x5, x6…x15, x16, x17)。像上面的球体一样的表面，在这样的多维空间中，通常被称为流形。
从数学的角度来看，“维”不过是另一个坐标轴(另一个自由度)，它最终成为一个纯粹的符号概念，与物质世界没有必然的联系。19世纪60年代，逻辑学先驱奥古斯都·德·摩根的著作影响了刘易斯·卡罗尔，他总结了这个领域日益抽象的观点，指出数学纯粹是“符号的科学”，因此，它除了与自身有关外，与其他任何事物都没有关系。从某种意义上说，数学是在想象的领域中被释放出来的逻辑。
不像数学家可以自由地在思想的领域里进行研究，物理学是与自然相联系的，至少在原则上是与物质事物相联系的。然而，所有这些都提出了一种解放的可能性，因为如果数学允许三维以上的空间，而且我们认为数学对于描述世界是有用的，我们怎么知道物理空间是有限的三个？尽管伽利略、牛顿和康德认为长度、宽度和高度是不言自明的，难道我们的世界就不会有更多的维度了吗？
再一次，宇宙超过三维的想法通过一种艺术媒介注入到公众意识中。在19世纪末和20世纪初，许多哲学家、艺术家、思想家探讨了关于第四维度的概念，以及人类遇到第四维度可能意味着什么。
1905年，一位不知名的物理学家阿尔伯特·爱因斯坦发表了一篇论文，将现实世界描述为一个四维空间。在他的“狭义相对论”中，时间被添加到空间的三个经典维度中。在相对论的数学形式中，所有四个维度都被捆绑在一起，时空这个术语也进入了我们的词典。这种组合绝不是武断的。爱因斯坦发现，通过沿着这条路走下去，一种强大的数学仪器出现了，它超越了牛顿的物理学，使他能够预测带电粒子的行为。只有在四维世界模型中，才能完整而准确地描述电磁学。
相对论不仅仅是另一个文学游戏，特别是当爱因斯坦把它从“特殊”扩展到“一般”理论的时候。现在，多维空间充满了深刻的物理意义。
在牛顿的世界图景中，物质在自然力量，特别是重力的影响下，在时间和空间中移动。空间、时间、物质和力量是现实的不同范畴。在狭义相对论中，爱因斯坦证明了空间和时间是统一的，从而将基本的物理类别从四个减少到三个：时空、物质和力。广义相对论则更进一步，将重力包裹在时空本身的结构中。从四维的角度看，重力只是空间形状的副产品。
为了理解这种不同寻常的情况，让我们暂时想象一下它的二维类比。想象一个蹦床，想象我们在它的表面画一个笛卡尔网格。现在把一个保龄球放在格子上。在它周围，表面会拉伸和弯曲，因此一些点彼此之间会变得越来越远。我们扰乱了空间内固有的距离度量，使它变得不平衡。广义相对论认为，这种扭曲就像是一个沉重的物体，例如太阳，对时空的影响，而空间本身的笛卡尔完美性所产生的偏差，导致了我们所体验到的重力现象。
而在牛顿的物理学中，重力无处不在，而在爱因斯坦的物理学中，它自然地从四维流形的固有几何中产生，在流形伸展或偏离笛卡尔规律最多的地方，重力感觉更强。这有时被称为“橡皮图板物理学”。在这里，巨大的宇宙力使行星围绕恒星公转，使恒星围绕星系公转，这只不过是空间扭曲的一个副作用。重力实际上是几何运动。
如果四维时空有助于解释重力，那么在五维中思考是否有任何科学上的解释？为什么不试一试呢？1919年，一位名叫西奥多·卡鲁扎的波兰年轻数学家提出了这个问题。他认为，如果爱因斯坦已经将引力吸收到了时空中，那么，或许可以用另一个维度来解释电磁力作为时空几何结构的产物。因此，卡鲁扎为爱因斯坦的方程增加了另一个维度，令他高兴的是，他发现在五个维度中，这两个力都很好地作为几何模型的副产品。
数学就像魔术一样适合，但在这个例子中，问题是额外的维度似乎与任何特定的物理质量没有关联。在广义相对论中，第四维是时间，在卡鲁扎的理论中，它不是任何你可以指出、看到或感觉到的东西，它只是存在于数学中。就连爱因斯坦也对这种空灵的创新望而却步。它是什么？在哪里？
1926年，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因回答这个问题的方式，读起来就像是从仙境里走出来的一样。“想象一下，”他说，“你是一只蚂蚁，住在一根又长又细的软管上。你可以沿着软管前后跑动，却从来没有意识到你脚下的小圈。只有你的蚂蚁物理学家用他们强大的蚂蚁显微镜才能看到这个微小的维度。克莱因认为，在我们的四维时空中，每一点都有一个像这样的额外空间圈，小到我们看不见。由于它比原子小很多个数量级，难怪我们至今还没有发现它。只有拥有超强粒子加速器的物理学家才有希望看到如此微小的尺度。
一旦物理学家们从最初的震惊中恢复过来，他们就会被克莱因的想法所吸引。在20世纪40年代，克莱因的理论在数学上得到了详尽的阐述，并被置于量子环境中。不幸的是，新维度的无穷小尺度使得人们无法想象它是如何被实验验证的。克莱因计算出这个小圆的直径只有10^(-30)厘米。相比之下，氢原子的直径是10^(-8)厘米，所以我们讨论的是比最小的原子小20个数量级以上的东西。即使在今天，我们也无法看到如此微小的尺度。于是这个想法就过时了。
然而，卡鲁扎并不是一个容易被吓倒的人。他相信他的第五维度，他相信数学理论的力量，所以他决定做一个自己的实验。他选定了游泳作为实验项目。卡鲁扎不会游泳，所以他尽其所能地阅读有关游泳的理论，当他觉得自己原则上已经吸收了水上运动时，他就陪家人去海边，然后纵身跳进海浪里，你瞧，他学会游泳。在卡鲁扎看来，游泳实验证明了理论的正确性，尽管他没能活着看到他心爱的第五维度的胜利，但在20世纪60年代，弦理论学家们重新提出了高维空间的概念。
到20世纪60年代，物理学家已经发现了另外两种自然力，它们都在亚原子尺度上起作用。它们被称为弱核力和强核力，它们负责某些类型的放射性，并将夸克聚集在一起形成构成原子核的质子和中子。在1960年代末，弦理论的物理学家开始探索新的主题(假定粒子就像微小的橡皮筋振动在空间)，卡卢扎和克莱因的思想重新回到人们的意识中，理论家逐渐开始怀疑这两个亚原子是否力也可以用时空几何学来描述。
结果是为了包含这两个力，我们必须在我们的数学描述中增加另外五个维度。再说一次，这些额外的维度都与我们的感官体验无关。它们只是存在于数学中。这就涉及到了弦理论的10维。这里有四个大尺度的时空维度(由广义相对论描述)，外加额外的六个“紧凑”维度(一个用于电磁学，五个用于核力)，全都蜷缩在一些极其复杂、揉成一团的几何结构中。
物理学家和数学家花费了大量的努力来理解这个微型空间可能呈现的所有可能的形状，如果有的话，在现实世界中可以实现许多替代方案。从技术上讲，这些形式被称为卡拉比流形，它们可以存在于任何偶数个更高维度中。这些奇异的、精巧的生物构成了多维空间的抽象分类，一个二维切片会让我们想到病毒的晶体结构，他们看起来几乎是活的。
描述10维空间的弦理论方程有很多版本，但在20世纪90年代，普林斯顿高等研究院的数学家爱德华·维滕指出，如果我们从11维的角度来看，事情可以在某种程度上简化。他把自己的新理论称为M理论，但拒绝说出M代表什么。
我们的宇宙可能只是众多共存宇宙中的一个，每一个都是更广阔的5D空间中的一个单独的4D泡泡。
到目前为止，我们还没有这些额外维度的任何证据——我们仍然处于游泳物理学家的梦乡，物理学家梦想着一个我们还不能到达的微型景观——但弦理论已经被证明对数学本身有强大的影响。最近，一个有24维的理论版本的发展显示出几个主要的数学分支之间出乎意料的相互联系，这意味着，即使弦理论在物理学上没有成功，它也将被证明是纯理论洞察力的一个非常有价值的来源。在数学中，24维空间是相当特殊的——神奇的事情发生在那里，比如以一种特别优雅的方式把球体打包在一起的能力——尽管现实世界不太可能有24维。对于我们所热爱和生活的世界，大多数弦理论家认为10维或11维就足够了。
弦理论的最后一个发展值得注意。1999年，丽莎兰德尔(第一位获得哈佛大学理论物理学终身职位的女性)和拉曼桑德拉姆(一位印裔美国粒子理论家)提出，在宇宙尺度上可能还有一个额外的维度，也就是广义相对论所描述的尺度。根据他们的“M”理论，我们通常所说的宇宙可能嵌在一个大得多的五维空间中，是一种超级宇宙。在这个超级空间中，我们的宇宙可能只是一系列共存宇宙中的一个，每一个都是更广阔的5D空间中的一个单独的4D泡泡。
很难知道我们是否能够证实兰德尔和桑德拉姆的理论。然而，有人将这一观点与现代天文学的起源相提并论。500年前的欧洲人发现，除了我们自己的星球之外，根本不可能想象出其他物质“世界”，但现在我们知道，宇宙中有数十亿颗行星围绕着数十亿颗恒星运转。谁知道呢，总有一天，我们的后代会发现其他数十亿个宇宙存在的证据，每个宇宙都有自己独特的时空方程。
理解空间几何结构的项目是科学的标志性成就之一，但物理学家们可能已经走到了这条路的尽头。因为从某种意义上说，亚里士多德是对的——扩展空间的概念确实存在逻辑问题。尽管相对论取得了非凡的成功，但我们知道，它对空间的描述不可能是最终的描述，因为在量子层面，它会被打破。在过去的半个世纪里，物理学家们一直试图将他们对宇宙尺度下的空间的理解与他们在量子尺度下的观察统一起来，但没有成功。而且，越来越多的人认为，这样的综合可能需要全新的物理学。
一些理论物理学家正在形成一种观点，认为空间实际上可能是某种更基本的东西所产生的一种突现现象，就像温度是由分子运动产生的宏观性质一样。现在的观点认为时空不是一个起点，而是一个终点，是一个从量子信息的复杂性中浮现出来的自然结构。
甚至笛卡尔也可能会被他的视野所带往的地方所震惊，以及“维度”这个简单的词所包含的令人眼花缭乱的复杂性。