双动点问题（一）

动点问题是初中数学中的热门问题，也是让人欢喜让人忧的一类问题．其中的数学模型隐藏在变化的运动背后，很多同学容易被这类问题的已知条件迷惑，虽练习很多仍然“闻动色变”，实在爱不起来．但如果会透过现象看本质，找到运动过程中不变的规律，这一类问题又会让人感觉精彩绝伦，回味无穷。本文就动点问题中如何找到双动点类型中的运动轨迹与大家分享．

动点题有时不止一个点在动，如果有两个动点，其中一个随着另一个的运动而运动，题目往往研究第二个动点的一些规律，比如最大最小值，经过的路径长等．解决问题的关键是找到第二个动点的运动轨迹．

一、直线型运动

1．如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．

分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。连结CE，如图②,

易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60° ，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．

答案：4

2．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．

分析：延长AC、BD相交于点E，

因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，

同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，

连结EP，所以EP、CD互相平分，

因为点G为CD的中点，所以EG=PG，所以点G是EP的中点，当点P从点A运动到点B时，点G的运动轨迹是△EAB的中位线MN．

答案：5

双动点的运动问题中，第二动点的运动轨迹如果是直线型，通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如平行、垂直等，或者是某一条特殊的直线（或直线上的一部分）如中位线、角平分线等．

请您思考

试一试：

1.如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x 秒．

（1）如图，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；

（2）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．

答案：

答案：C

在数学中，静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷．

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