二次函数的几何性质
（本文发布于几何数学公众号）
01，系数对图像的影响
a影响开口
什么！？b 的影响你没看清，我们追踪一下顶点再看看下图：
b变化时，每一个点的轨迹都与抛物线自身形状相同，且倒映在水面。。。
当顶点不在原点的时候a也是会影响位置的！
02、二次函数的高宽比
所谓“高宽比” 其实就是函数上两点之间的“铅锤高”和“水平宽”之比。在一次函数中，高宽比基本可以看做高中的斜率。初中的时候也可以适当的介绍。
初中一共学三种函数（什么？你说三角函数不算函数？）除了一次函数，还有二次函数和反比例函数，其实这三种函数的高宽比都有各自的特点。比如一次函数的高宽比就是解析式里的k，并且和所取的两点无关，也就是一次函数上任意两点的高宽比都为k(k为定值则高宽比为定值)。
今天借助GGB（GeoGebra从“0”基础到入门精通教程01-09+实操案例整合版）软件，探究下二次函数的高宽比是什么样的？
取一个顶点和其他任意点，高宽比并不是常数，根据过原点的二次函数解析式易得，高比宽方才为定值（就是二次项系数a）。并且可以推广平移至任何的二次函数图像。
如下图；注意观察，a变化但是BC/OC方始终等于a.并且可以推广平移
平移后依然成立
如果不取顶点而是任意两个点的高宽比和高/宽方，那么这两个比值都会随着点D，E的变化而变化。
如果让其中一个和顶点重合此时，再移动另一个点，比值就不会再变了，而是始终等于a.
综上我们得出结论，二次函数存在高比宽方，当其中一个点是顶点的时候，高比宽方为a(二次项系数),当两个点都不是顶点的时候，高比宽（方）的值，与两个点的横坐标有关.(到底有什么关系？其实可以设点做标计算)
03、抛物线格点
根据高宽比，可以计算出，抛物线有时候经过一些格点，这样可以快速得到点坐标：
04、宽高法求面积
其实就是割补的一种，叫做宽高法，可以选任意两点水平距离为水平宽，第三点做竖直线与刚才两点所在直线交点的距离为铅锤高。
方法1
方法2
方法3
面积求最值！！！
05、二次函数图像相似
怎么看都不像啊！
这样就像了：
06、平行弦的性质
07、抛物线恒垂直模型
这个证明略微复杂
证毕
其实只要知道特殊情况下的结论即可
08、抛物线恒平行
好了，本次内容写完了，期待下次相遇
感谢大家的支持厚爱！
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