截长补短法在证明线段和差关系中的应用

在初中几何中，经常会遇到这样一类几何题目，需要证明几条线段的和差关系，如证明两条线段的和等于另一条线段的长度，或证明两条线段的差等于另一条线段的长度，但往往这三条线段又不共线，这个时候就需要运用到截长补短思路。

截长补短其实是两种思路：一是截长，二是补短。

• 什么是截长呢？就是在较长的线段，通常是和线段，上截取一段等于较短的线段中的一条，然后再证明较长线段中余下的那条线段等于较短线段中的另一条；

• 什么是补短呢？就是通过转化，将两条较短线段转化到一条长线段中，然后再证明转化后的长线段等于原来三条线段中的较长线段，也就是和线段。

在这个过程中一般都需要运用到转化思路和全等三角形的判定和性质。

'截长补短'模型应用举例

例1. 如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。

求证：AB=AC+CD.

证明：

解法一“截长法”

在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。

∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，

又∵AD=AD, AC=AE.

∴△ACD≌△AED（SAS）.

∴∠C=∠AED，CD=DE.

∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B.

∵∠AED是△DEB的外角,

∴∠AED=∠EDB+∠B,

∴∠EDB=∠B.

∴CD=DE=EB,

∴AB=AE+EB=AC+CD.

解法二“补短法”

延长AC到点E，使CE=CD，

可知△CED是等腰三角形，

∴∠E=∠4, 由此可知

∠3=2∠E，又∵∠3=∠C=2∠B.

∴∠E=∠B, 又∵∠1=∠2, AD=AD

∴△AED≌△ABD（AAS）.

∴AB=AC+CE,

∴AB=AC+CD.

练习1：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD。

求证：AO+BO=2CO.

提示：证AC+BO=CO, 在CO上截取CE，使AC=CE.

练习2：如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD。

练习3：如图，Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E。

求证：AD=2DF+CE.

提示：在FA上截取FG，使FG=FD.