圆的进阶模型
（本文发布于几何数学公众号）
本文介绍的是圆的进阶模型，不同于之前的基础模型
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01:圆的第一定义与轨迹
根据圆的第一定义，该动点轨迹为直线，圆的第一定义即：一中同长
《墨子，经上》中说：圆，一中同长也。清朝陈澧 《东塾读书记·诸子》解释道：“《几何原本》云：‘圜之中处一圜心，一圜惟一心，无二心，圜界至中心作直线俱等。’即此所谓‘一中同长’也。
当然这题任何图形为背景都不影响结论：
02：圆的第二定义与轨迹
第二定义听过的人就不如第一定义多了，也叫做阿波罗尼斯圆，到两个定点的距离比为定值（不为1）的点的轨迹是圆。为啥不能比值为1呢？你说呢？比为1是啥？
为了展示阿氏圆的形成，我用ggb软件做了如下两个动圆：
保证两动圆的半径比为定值：
这样即可形成阿氏圆，缩小一点看到的会更全！
当然，如果半径比值为1，结果不言而喻：
也可以在另一边形成阿氏圆：
阿氏圆与相似有着密不可分的关系，所以我们会在相似模型中再进行更加详细的介绍。
03：圆的第三种生成方式
除了以上的两种定义，圆还有很多种产生的方式：如
当然我们初中阶段只需要了解其特殊情况，即：
证明略：
04：四点共圆
四点共圆，是许多教科书上没有明确点破，但是在应用上非常广泛的一个做题技巧，当然虽然没有明确点破，但是还是能在书上看到些许的影子，四点共圆可大致分为两类：
1、同侧等角：
同线段的同侧等角顶点和线段两段点共圆，其实这就是书上圆周角定理的逆命题啊！这个结论也叫定弦定角，应用颇多
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2、异侧互补角
同侧角相等共圆，异侧角互补共圆：
这个结论可以看做，圆内接四边形性质的逆命题。
05：圆中平分线
06：圆与等腰
07：弦切角定理
这也是一个教科书上少有提及的定理，但是考圆的时候还总考！
因为圆周角的灵活性，可以放在特殊位置证明：
（圆周角的灵活性往往也是解决圆中问题的核心）
也可以用相似证明，介于有的教材相似在圆后面
08：圆内角和圆外角
这两个概念都是相对于圆周角产生的！
由外角定理易证得结论，而且还有意外收获如下：
弧的度数的概念：用弧表示角（弧角一体）
在这补充，在圆中因为圆心角与弧的一一对应性，我们可以用弧表示圆心角（弧度制）（即用弧的长度表示角的大小），也可以用圆心角表示弧（下图用法）（即用角的度数表示弧的长短（同圆中），比如半圆就是180度，四分之一圆就是90度）
09：米勒问题
显然是一个叫“米勒”的先提出的
解决这个问题就是应用08中的圆周角与圆外角的大小关系：
做切圆，则其他角都为圆外角，只有切点处为圆周角。
10：古堡朝拜问题
又是传说？
本问题初中无法一般性解决，但是其结论可证明
遵循等角原理，即如下角相等是取最小值：
证明等角原理的正确性：
引用了将军饮马结论
11：圆幂定理
这也是和圆中相似密切相关的，也就是反八字形（蝴蝶相似），反A型相似，子母相似，飞镖型相似的结论有关。
E为平面任意一点，过E做直线与圆相交：
E为内点：
又称为相交弦定理
E为外点：
此时称为割线定理
EB相切：
此时称为切割线定理
12：折弦定理
本定理可以看做是垂径定理的一种引申
垂径定理的诸多结论（知二推三）中有一条是，过弧中点向对应弦做垂线，交点即为该弦的中点。即：弧中点+垂直=弦中点。折弦定理即将这一性质引申到折弦上！
通过三种方法展现截长补短的魅力
方法1：
方法2：
方法3：
好了，本次内容写完了，期待下次相遇
感谢大家的支持厚爱！
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