这道题太逆天了，2021年沈阳中考数学填空，巧妙运用位似才能解

这道题据说是今年，2021年沈阳中考数学填空题的第2小题，按理来说，这个位置上的填空题应该是秒杀级别的，但是老黄不仅秒杀不了它，甚至一开始得出来的答案还带有蒙的性质。写出来和大家探讨一下。看看聪明的您能不能找到更完美的方法。主要采用初中的知识，用一点高中的知识也可以，但不能主要使用高中的知识。

如图, 在矩形ABCD中, AB=8, BC=6, E为直线BC上的一个动点, 连接DE, 将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC’E, 点M为线段BC’上的点, BC’=5BM, 当AM取最大值时, 求∠BAM的正切值______.

分析：首先，初中阶段关于线段的最大值，要么通过二次函数的顶点式求得，要么根据“点到圆上最大距离过圆心”等几何方法得到。

由于M点实质上也是一个动点，因此有它的运动轨迹，结合上面的分析，M点的轨迹大概率是一个圆。但此处老黄一开始无法证明。所以说，最后的答案带有蒙的性质。不过我没有放弃，还一直考虑，最后终于让我想通了。因为点C’的运动轨迹是一个圆，DC'定长嘛，这个圆的圆心是D。而点M的运动轨迹与圆D关于B点位似，位似比是1/5. 所以点M的运动轨迹也是一个圆。

既然这样，求出这个圆心，记为O，就成为问题的关键了。我们可以以D点为原点建立直角坐标系（这是原题的图上有提供的，因为画图麻烦，所以被我省略了，因此这里要重新交代）

然后取一些特殊情况，来得到M点的坐标，从而求圆心O点的坐标，问题就可以解决了。

第一种特殊情形是点C，C'，E三点重合时，即没有发生题干中所说的翻折时，也可以认为是翻折角度等于0度时，点M在BC上，此时根据BC’=5BM，可以得到M点的坐标为(8,24/5)。

注意，BC与圆O相切，因为M点不可能有第二种在BC上的情形，而M点就是切点，所以圆心O在直线y=4.8上，即O点的纵坐标是4.8. （根据直径与切线互相垂直于切点）

又当CE=AB且E点在B点上方时,如图：

图中四边CDC'E是正方形，边长等于8，DE=根 号2 CD=8倍根号2. 因为三角形DMC'与三角形EMB相似，所以DE=5EM，从而求得M点的坐标为(32倍根号2 /5, 32根号2 /5), 且此时M点在运动轨迹的最高点，说明圆心O的横坐标是32倍根号2 /5。E点继续往上运动，C’点的位置会向下运动，其实C’点的运动轨迹也是一个圆，这会使得M点的位置也随着向下运动。

因此所求的tan∠BAM=(6-24/5)/(32倍根号2 /5)=3倍根号2 /32. （因为AM最长时过圆心，所以根据圆心到AB的距离与圆心到AD的距离比所求得的比值，就是∠BAM的正切值了）

幸好这只是一道填空题，所以还能应对。假如它是一道解答题，恐怕能解出来的人就不多了。关键是不知道怎么证明点M的轨迹是一个圆。至于点M的轨迹到底是不是一个圆，我用几何画板追踪过它的轨迹，结果的确是一个圆。最后又用位似图形的知识证明了它是一个圆。不过如果作为中考填空的第二题，这么难，实在说不过去。不知道大家有没有什么更巧妙的做法。老黄有点怀疑自己是不是被忽悠了，会不会它根本就不是一道中考题呢。当然，更大的可能是老黄自己的水平不够吧！