小教研｜单调性靠近拉格朗日
我们都知道，单调性，是函数最重要的性质。
没有之一！
所以，对函数单调性的理解，是学习函数的重中之重。
函数单调性的定义是这个样子的：
上面是单调递增的定义描述，递减是类似的。
但其实，是不是很多同学都有同感：这种单调性的定义，在考试时基本都是用不上的？
除了刚开始接触单调性时，会经常用定义去判断函数单调性，但以后，好像真的，确实是那种感觉。
毕竟，考试更多的，应该考查对概念的理解，甚至是深层次的认识。
那么，试题中对单调性的考查，最常见的表现形式又是怎样的呢？
今天的推送，主要就想讲讲单调性的不同考查方式。
对单调性的考查，最简单的，当然是直接考查单调性定义了。
对单调性定义的考查，主要有两种情形：
①单调性的概念：
在有了导数以后，基本都是在函数综合题中，通过导数来判断单调性的。
因为直接用定义判定单调性，实在是局限性太大了，对于稍复杂点的函数，根本就没有办法。
②单调性应用：
有没有发现，无论是综合还是客观题，其实落脚点都是在应用上呢？
毕竟，如果一个概念，不能在实际中应用，这个概念也就毫无用处了。
因此，理解好单调性的概念，并有一定的应用，是我们研究单调性最基本的目标。
不过，今天主要想说的，只是对单调性概念的考查。
分段函数的单调性，于很多的同学来说，无疑是单调性的一个难点了。
高一的娃，应该是深有同感的吧。
但其实，和很多其它的东西一样，真的是难者不会、会者不难的。
如果你确定对单调性有一个很好的认知，就算是分段函数，又能怎么样呢？
关于分段函数的单调性，处理时，我主要注意做到两个确保：
①确保各段内都单调，且单调性相同；
②确保相邻两段之间的最值具有衔接性
（确保从左至右，图像一直上升或下降）。
所以这个题，就可以这样分两步进行分析了：
根据单调性的定义，如果稍做深入思考，就可以得到单调性的等价形式了。
其实很简单的，就是将自变量和因变量的大小关系统一成了一个式子而已。
在单调性的判定当中，这种形式的出现，主要用来解决直接做差或做商时，计算量过大或很难判定其正负的函数式。
所以，也应当算是一种小的技巧了。
但在试题中，这种形式的出现，主要是用来表达一个函数的单调性的。只是和前面的形式相比，没有那么的直白，略显矜持一些罢了。
但是看看上面的表达，用了这个等价形式，是不是就明显感觉，题目上了一个档次了呢。
因为表达的意思相同，解题的思路当然也是一样的了。
对单调性定义的认识，其实还是可以进一步思考，做一下变形的。
也是现在很多的试题中，类似于下面这种形式的表达。
我把这种形式称为单调性定义的一般式。
相较于前面的两种表达，就显得更隐晦了一点。
为什么称它为单调性定义的一般式？
肯定是这种形式，与单调性有着密切关系的了。
对于高一新生来说，对这种形式的理解，我一般是这样做的：
原来，前面定义的等价形式，也只是它当m=0时的特殊情形而已.
这样，说它是单调性定义的一般式，当然是完全没问题了。
其实，从前面对式子的变形就可以看出，如果再遇到这种式子，我们就可以按照这种思路，构造一个新的函数，而且是已知了单调性的。
有人又把这个过程，称为构造法。
所以，就可以这样来处理这个问题了。
二次函数在有界区间内的单调性，主要考虑开口方向和对称轴的位置两个因素。
所以，这个解法的过程，就非常正常了。
只是因为需要分类讨论，那这个如果换成填空题，是不是会让很多的孩子有步入深渊的的感觉呢。
但不管怎么说，上面构造函数的思路都是非常不错的。
当然了，学习过导数的同学，是可以肆无忌惮的用导数处理的。
再试个题吧：
我这里说的高端，其实是有点故弄玄虚的感觉的。
不过对于中学生来说，因为所学知识的局限，感觉也不是太言过其实。
下面我们就对这个式子
从图形上，也就是式子的几何意义上去进行理解。
图形直观理解：
你能从上面的动图中看出点什么吗？
如果还看不出来，不妨再看下面的动图，再感觉下。
如果你是一名学生，你能用文字语言，将动图传递的意思表达出来么？
当然，我可以提醒一下的是，如果从几何意义着手，分式的几何意义是斜率的！
其实，我的理解，可以分两个层次：
①文字语言描述：
对于函数图像上任意一条割线，都存在一条切线与之平行.
当然，如果函数不单调，就象是下面这样，则可以存在多条切线与之平行了。
反正不管怎么说，都是会存在切线与割线平行的。
②符号语言描述：
上述的结果，如果用符号语言，则可以表达成这个样子：
我们都知道，切线的斜率，其实就是导数值。
那么，上面这种描述应该是没有问题了。
只是，如果想再规范化一点，可以进一步描述成这个样子：
这种描述，就绝对是很规范和严谨的了。
除了说明了图像的连续性，连中学生很少见到的ξ都出来了，是不是瞬间就觉得很高大上了呢？
而且因为
其实就是
从几何意义上来说，也就是割线斜率等于切线斜率。
因此，和我们前面所说，意思其实是完全一样的。
当然，对于这种表述，我也很有底气！
因为，这个结论，就是传说中的
拉格朗日中值定理！
在中学试题中，这个拉氏定理，可是会经常出现它的影子哦。
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基于这样的一种想法，例3便有了一个不一样、但更简洁的思路。
是不是觉得，有了这个结论，这种问题的处理就会方便了很多了呢！
所以要记住，在客观题中，对于连续可导函数来说，如果不要太严格，我们就可以说，在某个区间内任意割线斜率范围，与此区间内切线的斜率的范围，也就是导数的值域是相同的。
如果你不挑毛病，也可以凑和着说，它们是等价的。
当然，这里说的等价，只是范围上的相同。
虽然表述上是有些瑕疵的，但在我所经历的试题中，用这种想法来解决客观题，却真的是感觉很棒的。
当然，如果实在觉得过意不去，也可以试着这样去思考：
今天的推送很小，也不是很严谨。
但相信，对于中学生来说，应该会有很大启示的。
让我们记住一点：
如果遇到斜率型的条件，可以试着从导数或构造函数的角度着手分析。
也可能会有意想不到的收获的。