非欧几何的来源

几何的那几条公理，对于那五条一般性公理，大家都没有疑问，对于几何公理的前四条，大家也都没有疑问，但是对于第五条，也就是“过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。”这时就有人犯嘀咕了，会不会经过直线外的一点，能够做出很多条平行线，或者干脆一条也做不出来呢？

当然，我们根据直觉会觉得，欧几里得的想法是对的，因为在现实生活中，我们对任意直线和线外的一点，不可能做不出一条平行线，更不可能做出两条来。但是，由于这个公理本身是无法验证的，又不算很直观，因此对它作其它的假设或许也有道理。

在数学史上，有两个人就把几何学中的第五公理改了，然后依照逻辑，各自创立出一整套能够自洽的新的几何体系。

第一个人叫做罗巴切夫斯基，他假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。如果我们承认他所作出的这个假设，并且应用由此而来的全部结论，那么空间就由我们平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也称为双曲面。

在这样的空间里，三角形的三个角加起来就小于180度了。此外，很多欧几里得几何的结论在这个新的体系中都要修改，但需要指出的是，这个新的几何学体系本身是自洽的。今天它就以发明者罗巴切夫斯基的名字命名了，当然中国人为了简单起见，就称呼它为罗氏几何，类似的，欧几里得几何也被称为欧氏几何。

第二个改变第五公理的人是著名数学家黎曼，他假定经过直线外任意一个点，一条平行线也做不出来，这样构建的几何学被称为黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。这个空间每一个切面是椭圆，因此它也被称为椭球空间。如果你在上面画一个三角形，它的三个角加起来大于180度。

这个结论你其实在地球上很容易证实：你从北极出发往正南走100米，再往正西走100米，最后往正北走100米，你又回到了出发的原点，也就是北极点。你走过的这个三角形，三个角之和为270度。