寒假中考复习策略四:一次函数有关的实际应用问题
在往年中考数学当中,存在着不少与实际生活工作相关的应用问题,我们可通过建立一次函数的关系式y=kx+b(k≠0),可利用函数的增减性去解决问题,如当k<0时,一次函数是减函数,在自变量x的取值范围内,自变量x随着y的增大而减小,可根据自变量x的最小值或最大值而求得 y的最值;当k>0时,一次函数是增函数,在自变量x的取值范围内,自变量x随着y的增大而增大,可根据自变量x的最小值或最大值求得y的最值。
一次函数有关的实际应用问题,一般是以现实生活为背景,题型的内容紧密联系生活实际,对于缺少生活经验的学生来说,可能会存在一些困难。其实此类试题一般考查了三个知识点:
怎样求一次函数的解析式?
怎样解不等式、求出自变量x的取值范围?
怎样运用一次函数的增减性求最大值。
应用题的难度总体不高,但设计新颖、精巧、贴近生活,突出了考查基本方法和基础知识,突出了数学知识来源于生活,突出了应用数学的意识,有利于考查学生的思维和应变能力,因而通过解题,可让学生体会到数学的价值。
如下面这道应用问题就是和交通运输有关,非常贴近生活实际。
快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发,相向而行.快车到达B站后,停留1小时,然后原路原速返回A站,慢车到达A站即停运休息.下图表示的是两车之问的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数图象.请结合图象信息.解答下列问题:
(1)直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离;
(2)求快车从B 返回 A站时,y与x之间的函数关系式:
(3)出发几小时,两车相距200千米?请直接写出答案。
考点分析:
一次函数的应用。
题干分析:
(1)慢车的速度由快车到达B站后停留1小时,慢车行驶的路程880-800=80千米可求得:80÷1=80(千米/小时)。
快车的速度同两车相遇到快车到达B站的路程800-80×4=480千米,
时间4小时可求得: 480÷4=120(千米/小时)。
A、B两站间的距离由快车行驶10小时可求得:120×10=1200(千米)。
(2)求出点Q的坐标,用待定系数法分别求出PQ和QH的解析式即可。
(3)由C(0,1200),D(6,0),用待定系数法可得CD:y=-200x+1200。
当y=200时,x=5。
由D(6,0),E(10,800),用待定系数法可得DE:y=200x-1200。
当y=200时,x=7。
由QH:y=-200x+2520,当y=200时,x=58/3。
综上所述,出发5小时或7小时或3/58小时,两车相距200千米。
近年来的中考题中,有许多涉及到一次函数的应用题,这些题目关注社会改革,接近现实生活,较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力。
一次函数问题大致可分为:
(1)运用图像信息,解答实际问题;
(2)求实际问题中的函数解析式;
(3)以经济核算为内容的方案比较;
(4)解决最值问题。
夏都花卉基地出售两种花卉,其中马蹄莲每株3.5元,康乃馨每株5元.如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1000株,那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元.现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800~1200株、康乃馨若干株,本次采购共用了7000元.然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出,问:该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大?
(注:800~1200株表示采购株数大于或等于800株,且小于或等于1200株;利润=销售所得金额﹣进货所需金额)
考点分析:
一次函数的应用。
题干分析:
设采购马蹄莲x株,由于马蹄莲数量大于1000株时,每株玫瑰降价0.5元,因此需分两种情况讨论即800≤x≤1000和1000<x≤1200.按照等量关系“采购马蹄莲的花费+采购康乃馨的花费=总花费”“毛利润=鲜花店卖出马蹄莲和康乃馨所获的总金额﹣购进马蹄莲和康乃馨的所需的总金额”,列出函数求得毛利润最大值。
一次函数及其图像是初中函数里重要内容,也是历年中考数学重点考查内容。中考考查一次函数题型有多种多样,如有考定义、求解析式,主要是判断一个函数是否为一次函数,这时候我们要从三个方面进行观察:
1、首先必须是整式;
2、次数,自变量的最高次数是否为一次;
3、系数,将函数化简后,自变量x的系数不为零。
根据两点定一直线,用待定系数法确定函数解析式的步骤是:
1、写出含有待定系数的方程;
2、把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);
3、解方程(组),求出待定系数;
4、将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
同时我们要谨记,函数的类型与自变量所用的字母名称无关。
星期天8:00~8:30,燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气,注完气之后,一位工作人员以每车20米3的加气量,依次给在加气站排队等候的若干辆车加气.储气罐中的储气量y(米3)与时间x(小时)的函数关系如图所示.
(1)8:00~8:30,燃气公司向储气罐注入了 8000米3的天然气;
(2)当x≥8.5时,求储气罐中的储气量y(米3)与时间x(小时)的函数关系式;
(3)正在排队等候的20辆车加完气后,储气罐内还有天然气 9600米3,这第20辆车在当天9:00之前能加完气吗?请说明理由.
考点分析:
一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
题干分析:
(1)由函数图象可知,8点时储气罐中有2000米3的天然气,8:30时储气罐中有10000米3的天然气,即可得出燃气公司向储气罐注入了8000米3的天然气。
(2)根据图象上点的坐标用待定系数法得出函数解析式即可。
(3)根据每车20米3的加气量,则20辆车加完气后,储气罐内还有天然气:
10000-20×20=9600(米3)。代入函数关系式即可得出所用时间。