连载（2）：工程实际中的有限元分析

无论多么优秀的有限元分析软件，只有正确使用才能得到令人满意的模拟结果。在进行有限元分析时，切忌拿到一个问题就不假思索地开始建立几何模型、划分网格、输入材料特性、定义边界条件和载荷，最后看到分析收敛了，就打印一些云纹图，画几条曲线，然后万事大吉。虽然只要在有限元软件中输入足够的模型参数，就可以得出五颜六色的云纹图和丰富的分析数据，但这些结果是否正确，是否真是我们所需要的结果，取决于我们建模的方法和所输入的参数，而不能靠有限元软件本身来保证。

举例来说，假设我们要开车去某地，如果司机一头钻进驾驶室，点火、踩油门、换挡、打方向盘，几个小时后我们一定会到达某个地点，但这是否是我们的目的地，取决于我们的驾驶过程，而不是只要驾驶的是奔驰宝马就没问题了。在出发之前，我们应该首先进行缜密的思考和规划 —— 目的地在什么方向、距离有多远、有哪些可供选择的路线、是否路上有什么高山大河的险阻、有哪些必须停留的中转地点、需要在多长时间之内到达、汽车的性能是否足以完成整个旅程等等。在行进过程中，需要不断地校准方位，时时留心是否行进在正确的路线上。到达终点时，要仔细检查这是否是最初所预期的目的地，是否需要继续行进，奔向下一个目标。

有限元分析的过程与此类似，CAE 工程师在拿到一个工程项目时，应该依次思考和解决以下问题：

（1）明确分析目的

首先应该明确所关心的是零件或结构的强度（应力、疲劳寿命）、刚度（位移和载荷的关系）、温度场还是重量的最小化等等。分析目的不同，则建模方法也不同。如果只关心刚度，则不需要划分过细的网格；如果关心的是强度，则需要在可能的危险部位（例如，应力集中的圆角处）进行网格细化。

需要注意的是：虽然有限元软件功能强大，适用范围广泛，但它并不是万能的，不能期待它完美地模拟任何问题。例如，可以通过有限元分析得出结论：该部件在当前的约束条件和载荷工况下满足强度要求，但该结论的前提条件是部件在生产过程中没有出现缺陷。如果部件的材料本身存在杂质或缺陷、在铸造过程中出现气孔或在锻造工程中出现裂纹，都会导致部件提前破坏，而这些问题在进行一般的有限元分析时是不会考虑的。

（2）选取适当的分析类型

常用的分析类型包括：静力分析、动态分析、准静态分析等。实际上，分析对象往往是处在运动状态中（例如，汽车、机床、重型机械、船舶中的部件），但并非只要部件是运动的，就一定要采用动态分析。静力分析的建模过程更简单，不确定性因素更少，更容易得到可靠的结果，因此应该始终将其作为首选的分析类型来考虑。用静力分析来模拟运动的对象，如同用相机来对运动对象的某个瞬间做一个定格的抓拍，该瞬间往往选取在受力最大、最危险的那一刻。

下列场合必须采用动态分析：需要模拟构件的振动特性或高速冲击碰撞过程，或者接触问题过于复杂，使用静力分析无法收敛或计算时间过长等等。动态分析需要考虑阻尼、加载速度、动能和内能的比例等复杂因素，准静态分析往往需要进行适当的质量缩放技术。如果没有足够的建模经验和试验测试结果的验证，不要轻率地选择这两种分析类型。

（3）选取适当的建模对象

工程实际中的分析对象（例如，汽车、机械、医疗器械）一般都是由大量零部件组合而成的复杂系统，各个部件之间存在着复杂的相互作用。在建模时，不可能也没有必要把所有部件都放入模型。选取建模对象时可以遵循以下原则：

1）仅选取所关心的部件，必要时可以适当增加一些相邻的其它部件，去掉那些远离所关心部位的部件。例如，希望计算吊车的起重臂强度，则没有必要把整个吊车车身都模拟出来。

2）去掉或简化对分析结果影响很小的部件或环境因素。例如，进行整车碰撞模拟时，应该只对重要的车身结构件建模，其余部分可以简化为质量块或忽略不计。分析潜水艇在水下的性能时，主要载荷是水下的压力，而潜水艇内的空气压力远远小于水的压力，空气的作用就可以忽略不计。

3）在模型中部件和模型之外部件的交界处，应定义适当的边界条件或载荷。常见的做法是：在交界处和某个参考点之间建立耦合约束（coupling），然后将边界条件或载荷定义在参考点上。根据圣维南原理，当截取整个模型的一部分时，可以用外力系的合力来替代截面处的应力，对于远离截面处的部位，这种替代的影响可以忽略不计。

（4）建立合理的几何模型

借助先进的 CAD 软件，可以模拟出产品外形和内部结构的每一个微小细节，可以得到非常准确的几何模型。但对于有限元模型来说，很多几何模型的细节往往不是必需的，可能造成不必要的细化网格，大大增加计算时间。在建立有限元模型时，一般不应保留几何模型中的所有细节，例如，可以去掉那些远离关键部位的小孔，用光滑的圆孔来代替螺纹孔，用小圆角来代替尖角，用直线来代替小的过渡圆弧等等。

另外，这些细微的几何特征处可能应力集中系数很大，甚至接近应力奇异状态，但这不一定代表这些部位就是危险部位。举一个工程实际中的例子来说明：起重机的吊臂在使用过程中，不可避免地会出现一些很浅的划痕，如果对这些划痕建模（例如，将其模拟为深度为 0.1mm 的半圆槽），并在划痕区域划分非常细的网格，会看到划痕区域出现应力集中现象，应力远远大于其他部位。但不能就因此判断这些划痕区域是危险部位，因为实践经验告诉我们，吊臂不会因为这些浅浅的划痕而出现破坏。

对上述情况的解释是：应力大的区域仅仅局限在这些微小的局部上，因此不会对整个结构的强度造成影响。比较另外一种情况：如果在吊臂表面开一道深度为10mm 的半圆槽，这个半圆槽就很可能是危险部位。因为这个半圆槽的尺寸较大，其附近较大区域内的应力都会很高，因而会对整个构件的强度造成影响。

以上说法或许会令人感到奇怪 —— 理论上应该是半径越小，应力集中现象越严重，但在上面的例子中，0.1 mm 的半圆槽不是危险部位，10mm 的半圆槽反而是危险部位。这就是解决实际工程问题的困难之处：既要依据力学理论，又不能死板地套用力学理论。

再举一个常见的例子：在铸件上往往会铸出一些凸出的数字或字母组成的编号，以便于在大批量生产中识别。这些凸出处和铸件平面之间的过渡圆角往往非常小（例如，小于0.2 mm），如果在这些圆角部位划分非常细的网格，会得到非常大的应力。事实上，在建模时可以忽略这些凸起几何特征，将其所在区域简化处理为一个平面。

实际分析时可以把握这样一个原则：如果几何细节的尺寸远远小于构件的尺寸，就可以考虑忽略这些几何细节。即使在模型中保留了这些几何细节，也不要在这些部位划分过细的网格。至于具体“远远小于”是什么概念，可以这样大致判断：令整个构件的外形轮廓充满屏幕，如果这时某个几何细节很难用肉眼分辨出来，就可以称得上是“远远小于”了。

CAE 工程师必须运用经验和直觉来判断设计细节的相关性能，确定它们能否被简化而不产生错误的结果。这些简化区域附近的应力结果会不完全准确，但在远离这些简化区域的位置，应力结果基本不受影响，整个模型的位移结果一般也不受影响。

有些情况下，某些细节在一开始显得并不重要，但后来的分析结果表明该细节是至关重要的（例如，此处应力很大，是危险部位），这时可以在模型中恢复该细节，重新计算。如果模型非常复杂，修改模型重新计算需要的时间过长，可以采用子模型（submodel）的方法来分析局部区域。

（5）划分合理的网格

实际建模分析时，经常可以看到一些初学者为整个模型划分均匀的网格，这是一种偷懒的做法，其结果是：一些重要部位（应力集中处、大变形处、接触面上）的网格过粗，分析结果不准确或无法收敛；其他不重要部位的网格又过细，浪费了大量的计算时间。

一般情况下，都应该在上述关键部位进行分割（partition）操作，生成局部细化的网格，而在应力很小和远离关键部位的区域划分比较粗的网格。

具体细化到何等程度就足够了，要靠实践经验。在没有把握时，可以进行收敛性试验，即划分几种不同密度的网格，如果当网格细化到一定程度时，应力结果基本不再变化，说明网格密度已经足够了。一般情况下，在应力集中的90° 圆角上应该至少划分12个单元，在厚度方向上至少应划分3层单元，如果使用减缩积分单元（例如 C3D8R），在厚度方向上至少应划分4层单元。

（6）选取适当的材料特性

弹塑性分析的收敛难度和计算时间都大大高于线弹性分析。对于一般的强度分析，使用弹性材料就可以满足工程需要。如果在弹性分析的结果中看到某些区域的 Mises 应力大于屈服应力（同时可以看到等效塑性应变 PEEQ >0），就可以判断这些区域会发生塑性变形。如果发生塑性变形的区域仅仅是很小的局部应力集中区域，而不是贯穿部件截面的大部分区域，可以认为部件不会发生塑性破坏。

表面加工硬化和感应淬火是工程中提高部件强度的常见工艺，它们一般仅仅是提高材料应力-应变曲线中的屈服强度和断裂强度，而不会改变弹性模量。如果使用弹性材料，在设置模型的材料属性时不需要考虑这些工艺的影响。

如果模型中某些部件的弹性模量和刚度很大，其变形量远远小于所关心部件的变形量，或者其位置远离所关心的部位，就可以把这些部件设为刚体。常见的例子包括轧辊、冲头、模具、机械设备中的底座等等。

（7）定义合理的边界条件、载荷和相互作用

边界条件定义不够是静力分析中最常见的问题。例如，一个圆筒的内壁上受到均匀的径向压力（载荷和几何形状在3个方向上都是对称的），如果直接对完整的圆筒体建模，就很难定义边界条件。有些读者会想到取1/2来建模，在对称面上定义对称边界条件，但静力分析要求约束模型全部6个自由度上的刚体平动和转动，仅有一个对称边界条件仍然是不够的。正确的做法是充分利用对称性，取1/8圆筒来建模，在3个方向的对称面上分别定义边界条件。

接触分析会大大增加收敛的难度，如果两个部件的接触面远离关键部位，而且接触部位在整个分析过程中始终紧密连接，不会分开（例如螺栓和螺母的螺纹连接处），就可以用绑定约束（tie）来代替接触。

对于非线性问题，加载次序不同，得到的结果也很可能会不同，因此模型中各个分析步的模型状态应尽量符合工程实际。例如，某种机械产品的工程实际情况是：首先由生产商完成装配过程，将各个部件通过过盈配合装配在一起，然后客户将此产品投入使用，使其承受一定的载荷。在对这个产品的承载状况进行有限元分析时，应该首先用一个单独的分析步来模拟完成装配后的过盈接触状态，在下一个分析步再施加载荷，而不能只有一个分析步，同时定义过盈配合和载荷。

前面讨论的几点都是关于如何建立正确的模型，本书各章内容也都是围绕着这些主题而展开。如果我们能够顺利完成建模工作，并得到收敛的分析结果，这是迈出了重要的一步，值得庆贺，但这并不意味着全部 CAE 工作已经完成，接下来还有几项重要的工作需要去做，下面分别进行讨论。

（8）评价和理解分析结果

得到分析结果后，首先要根据实践经验和力学的基本原理来评价这些结果的正确性，尽可能理解出现这样结果的可能原因，常用的方法包括：

1）检查分析结果的数量级。例如，在正常载荷作用下，得到的应力结果达到了材料屈服应力的几十倍，这个结果有可能是错误的（例如，某个参数的单位不正确）。

2）与以往的同类分析做比较。例如，如果应力集中的圆角半径由 3 mm 缩小为2.5 mm，或者圆角半径保持不变，沿圆弧方向上的单元数由6个增大到12个，如果这时应力结果的变化量在10%以下，是比较正常的，如果应力变化很大（例如，增大了几倍），计算结果就值得怀疑。

应力奇异是评价分析结果时经常会遇到的问题。根据力学的基本理论可知，在尖角处以及边界条件、接触关系、约束条件发生变化的位置，应力是奇异的，有限元分析所得到的这些位置上的应力结果是不可靠的。例如在接触面或绑定约束区域的边缘处，以及施加了点载荷的节点上，会看到应力值非常大，但不能因此断定这些位置就是危险位置。如果需要准确地知道这些位置的应力，应该在几何模型中体现出这些位置真实的圆角，并在这些位置划分非常细化的网格。

在工程实际中，绝对的尖角是不存在的，接触面也不会突然中止，而是一定会在接触面的边缘有一个过渡圆角。点载荷也只是一种理论上的假设，实际中的载荷一定是作用在一个区域上。如果这些部位不是关键部位，就没有必要模拟出这些不重要的细节。

从上面8个方面的讨论可以看出：在分析实际工程问题时，由于受到计算时间和软件本身能力的限制，我们永远不可能模拟100% 真实的世界。完全精确的解析解只是一种理想的简化，只存在于力学教材中。对于实际的工程问题，如何在不影响结果精度的前提下对模型做适当的简化，忽略那些不重要的细节，永远是有限元分析的核心问题。

（9）通过试验测试验证分析结果

数值仿真和试验测试如同产品研发的两条臂膀，二者缺一不可，互为补充，互相促进。在现代的大型企业中，这两种模拟手段都是不可或缺的。

试验测试的优势在于测试对象是真实的零部件，更接近工程实际，但试验测试的成本很高，制造试件和完成测试的时间都很长，需要测试很多样本才能避免统计误差，如果需要修改设计方案，需要重新生产试件，重复整个试验过程。

数值仿真的优势在于可以灵活方便地模拟各种设计方案、支撑条件和载荷工况，大大节省时间和人力物力成本。前面已经介绍过，数值仿真过程中不可避免地要做各种简化和近似，计算结果的准确程度取决于建模方法和所输入参数的正确性。只有借助于试验测试的验证，才能在长期的实践中逐渐摸索总结出正确的数值仿真建模方法。

工程实际中，数值仿真结果和试验测试结果总会有一些差异。根据笔者的个人经验，对于应力或应变结果，如果数值仿真结果和试验测试结果的差异小于5%，就已经很理想了；对于疲劳寿命，如果二者之间的差异小于 30% 就可以说是相当吻合了。例如，在高周疲劳的 S-N 曲线中，如果斜率为5，则 5% 的应力差异对应的疲劳寿命差异为 ，即28%。另外疲劳寿命的试验测试结果本身离散度就非常大，测试同一零部件的一组试样时，各个试样的疲劳寿命可能相差几倍。

（10）得出能够指导工程实践的结论

建立了正确的模型，得到了准确的分析结果，CAE 工程师的全部工作是否就已经完成了呢？在科技期刊上的有限元论文中，经常可以看到类似于以下内容的结论：“部位 A 是危险部位，其最大主应力值为……；部位 B 发生了塑性变形，最大的等效塑性应变为……；部位 C 的位移量最大，位移值为……”。

如果是在高校或科研院所作理论研究，可能到此就可以说是课题完成了，但对于企业研发部门的 CAE 工程师，这样的结论一般来说还不够。企业所需要的结论是：危险部位 A 是否可能发生破坏？部位 B 的塑性变形是否会影响产品性能？部位 C 的位移量是否在允许的范围之内？并给出一锤定音的结论 —— 这种产品设计是否可行，是否可以投产。

这样的结论确实很难做出，需要多年的实践经验。另外，下这样的结论要担负重大的责任，而这也正是 CAE 工程师的价值所在。在现代企业中，负责 CAE 的高级主管要在设计方案上正式签字，对于飞机、汽车等涉及安全性的产品，如果因为设计不当而出现产品质量问题，造成重大事故，CAE 部门的相关人员负有不可推卸的责任，严重时甚至会被追究法律责任。

具体如何根据有限元分析结果来判断产品设计方案的可行性，各大企业一般都有成熟的内部技术规范，有些情况下客户会提出一定的要求，例如，疲劳寿命或变形量需要达到的某种标准。

如果无法确定数值仿真结果的准确程度如何，可以在不同设计方案之间作比较。例如，某种产品已经按照设计方案 A 投入了大批量生产，质量良好，在新推出设计方案 B 时，可以比较这两种方案的有限元分析结果（前提是二者的建模方法、模型参数、网格密度都基本相同）。如果方案 B 的结果不逊于方案 A，就可以比较有把握地判断，方案 B 也是可行的。即使这两种方案的有限元分析结果都不十分准确，但一般来说，这两个结果的相对变化量是比较准确的。

（11）优化和改进产品设计

优化和改进产品设计是 CAE 工程师的重要职责之一，同样需要多年的实践经验，才能拿出切实可行的方案。在优化和改进的过程中，主要应考虑下列因素：

1）力学性能：例如，应力、应变、位移、疲劳寿命等等。需要注意的是：力学性能并不是越高越好，过高就可能是所谓的“overdimensioned”，即尺寸过大，使用了过多不必要的材料，无谓地增大了成本和重量。对于很多机械产品，疲劳寿命有几倍的安全系数就够了。

2）材料和重量：如上所述，现代工业产品的发展趋势是“轻薄短小”，在满足强度和使用功能的前提条件下，追求使用最少的材料，达到最轻的重量。例如，汽车制造商对于每个零部件的重量都有严格的限制，尽管一辆汽车重达几吨，但如果其中某个部件能够减轻几十克的重量，都会令汽车制造商很感兴趣，因为一辆汽车中包含上万个部件，如果每个部件都能减轻几十克，其总和就是非常可观的。

3）尺寸和空间的限制：修改零部件的尺寸和外形时，应考虑与相邻部件的空间位置关系，不要引起装配冲突。

4）零件加工的可行性：例如，过于复杂的几何形状是否会导致铸造困难，是否能够满足车床和磨床的工艺要求等。

5）装配的可行性：例如，产品内腔内有螺栓连接，就需要为装配生产线留出放入螺栓的通道。

6）成本：上面各个因素（材料、尺寸、零件加工、装配）都涉及到成本问题。无论其他方面如何出众，如果一个设计方案带来了过高的额外成本，这个产品就很难在激烈竞争的市场上生存。下面举几个常见的例子：

a） 一辆汽车的售价是几万甚至几十万美元，而汽车生产商可能因为几美分的价格差异而优先选择某个零部件生产商的产品，因为汽车年产量几十万辆，如果每辆车的成本节省几美分，其总和就是数万美元的成本差异；

b） 陶瓷材料的力学性能和重量方面都优于钢，但陶瓷轴承始终无法成为主流的工业轴承，其材料价格高是一个主要原因；

c） 提高产品疲劳寿命有多种方法，例如，通过精磨来提高关键部位的表面光洁度、通过感应淬火来对关键部位作热处理等，但这都意味着生产成本的提高，不能随意采用。

工程实际中的有限元分析涉及多个不同的方面，以上仅仅是笔者的一些个人心得。所谓“运用之妙，存乎一心”，书本上的知识是有限的，要想成为一名优秀的 CAE 工程师，更多地还是需要读者自己在实践中摸索总结，积累经验。