初中奥数精讲——第17讲 相交线和平行线-答案精讲

本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行。

2. 在两条直线相交的位置关系中，两条直线互相垂直是一种重要的特殊情况。关于垂线有下列性质：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

3. 两条直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据。

（1）平行线的判定

a. 同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行。

b. 平行于同一直线的两条直线平行。

c. 垂直于同一直线的两条直线平行。

（2）平行线的性质

a. 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。

b. 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

c. 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直。

4. 线段AB中的中垂线（即垂直平分线）的性质与判定

（1）线段AB的中垂线上任一点到两个端点的距离相等。

（2）如果直线上任一点到线段AB两个端点的距离相等，那么这条直线是线段AB的中垂线。

5. 当两条直线相交或两条直线分别于第三条直线相交，就产生了对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中找出不同名称的角是解相关问题的基础。

这部分主要考察学生的对一些相交线、平行线的了解及掌握，这部分属于几何部分的基础知识，这部分需要一些空间想象能力，题型变化多，要夯实基础，才能保证在几何的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （全国初中数学公开赛试题）

如图，有6条直线满足a1∥a2，a1∥a2，且a1，a3，a5三线共点，则图中有多少对同旁内角？

（1）此题若用简单的比比划划，逐一去数，很容易遗漏或重复，考虑分类计数；

（2）数三角形的数量，要有条理地去数。

解答：

例2 （“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

在平面上有n个点所组成的点集，如果以点集中任意两点为端点的线段的垂直平分线都经过点集中至少一点，那么这个点集就叫做n点的“祖冲之点集”，试在平面上表示出：

（1）一个6点的“祖冲之点集”；

（2）一个7点的“祖冲之点集”。

从整多边形开始考虑构造相应的满足条件的点集。

解答：

例3 （广州、武汉、重庆、福州、洛阳初二数学联赛试题）

如图，直线a∥b，那么 ∠x的度数为_________。

解答：

例4 （“祖冲之”杯数学邀请赛初二试题）

在图中，已知AB∥CD，∠AFE = α，∠ECD = β，求∠E。

自然而然的辅助线方法。

解答：

例5

如图，已知AB∥CD，BC∥DE，BF平分∠ABC，DG平分∠EDC，求证：DG⊥BF。

有平行线、内错角、某一内错角的平分线，自然而然想到另一个内错角的平分线。

解答：

例6

如图，一位牧童从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，问应该怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路线最短？

“将军饮马”问题，关键在于利用对称构造两点之间线段最短，可以延伸出很多相似的问题。

解答：

例7

如图，在一条河的两岸有A、B两个村庄，现要在河上建一座桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问，桥架在何处，才能使A到B的距离最短？

还是构造两点之间线段最短。

解答：

例8 （“希望杯”初一数学竞赛题）

（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线恰好与另3条直线相交，并简单说明画法。

（2）能否在平面上画出7条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线恰好与另3条直线相交？如果能请画出一例，如果不能，请简述理由。

解答：

（2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。证明如下：

假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交都只有一个交点，又没有3线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的点。

按照直线数量去计算这些点，共7×3=21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计算了一次，所以这7条直线的交点总数为21/2=10.5个，矛盾。

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