3.3几何概型
对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。——克莱因
3.3几何概型
一、要背的概念和公式：
1、记忆几何概型的定义；
2、记忆几何概型的公式。
二、例题和练习：
例1、例2、例3、例4。P142页习题3.3。
三、注意事项：
1、要注意几何概型的关键是将问题化为长度、面积、体积等的比值；
2、认真阅读例2的第一种方法，认真体会是如何设变量，将实际问题化为面积比的；
3、认真阅读例2的第二种方法和例3、例4，理解计算机模拟的方法来求几何概型。
四、要注意的题型：
1、有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
2、郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？
3、甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？
4、在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
5、在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
参考答案：
1、设事件A：两段木棍都不小于3米,P(A)=.
2、设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个×的小正方形内（如上图）,这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为×=,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为.
3、设甲到的时间为（9+x）小时,乙到的时间为（9+y）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.
点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即小时,所以在|x-y|≤时,两人才能会面.
由于|x-y|≤是两条平行直线x-y=与y-x=之间的带状区域,
正方形在这两个带状区域是两个三角形,其面积之和为(1-)×(1-)=()2.
从而带形区域在这个正方形内的面积为1-()2=,因此所求的概率为.
4、设事件A：取出1升水,其中含有病毒,则P(A)==0.2.
从而所求的概率为0.2.
5、解：设事件A：作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，
则μa=90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,
由几何概型的计算公式得P（A）=.
温馨提醒：
由于数学符号的特殊性，很多符号无法粘贴下来，具体内容请以下面的图片为准。