1900年，巴黎举办了一场对数学的未来影响巨大的活动——第二届国际数学家大会。在这场大会中，著名的德国数学家大卫·希尔伯特列举了23个塑造了未来数学发展的未解难题，其中第8问与下图所示的内容有关：
1998年，沿袭了希尔伯特23问，菲尔兹奖得主斯蒂芬·斯梅尔列出了21世纪的18道数学问题，其中第一问便是黎曼猜想。到了2000年，克雷数学研究所公布了七个千禧年大奖难题，其中也包括黎曼猜想。
这弯弯绕绕的曲线或许是数学中最具有魅力、却也最令人沮丧的曲线之一。这是因为这张图的背后隐藏的正是困扰了数学家一个多世纪之久的难题：黎曼猜想。虽然许多领域都假定黎曼猜想是成立的，但对于数学家而言，真正的证明还远未出现。希尔伯特曾说：“如果我在沉睡了千年后醒来，我的第一个问题便是：黎曼猜想被证明了吗？”
在数论中，素数是指那些除了1和自身以外无法被其他正整数整除的数，比如2、3、5、7、11、13......素数常被视作为整数中的“原子”，正如可以构成万物的原子那样，素数就像是最基本的积木，可以构建任何一个数字。
任何不是素数的数都可以写成素数的乘积。在这个例子中，2、3、7是素数，它们无法被进一步分解。
早在公元前3世纪，欧几里得就证明了素数有无穷多个。然而，欧几里得并没能告诉我们有关于素数的模式和分布的任何信息。它们似乎是完全随机出现的——有时，两个连续素数之间存在巨大的间隙；有时，两个素数紧挨着，中间只隔着一个数字，即孪生素数。
素数在自然数中的出现真的是随机的吗？亦或是有迹可循？18世纪末，年仅15岁（或16岁）的高斯（Carl Friedrich Gauss）开始研究素数的分布。他绘制了大量从1到3,000,000之间的素数表，试图找寻其中的规律。在下图中，所有的整数都沿着x轴分布，每当出现一个素数，那么在y轴的方向上素数计数函数（蓝色）就会增加1：
素数计数函数：每当x轴上出现的整数是素数时，素数计数函数就会增加1。
随着数字变大，呈现在眼前的那些起伏会愈加趋于平缓，留下了一条看似平滑的曲线。当高斯看到这样一条曲线时，他想，是否有其他函数也能产生类似的曲线？他注意到，函数x/log(x)的形状与素数计数函数看起来非常相似。
数函数就会增加1。高斯注意到函数x/log(x)的形状与素数计数函数相似。
依赖大量通过计算获得的“实验数据”，高斯提出了一个猜想：小于x的素数个数约等于x/log(x)。他预测当x趋近于无穷大时，这个近似的相对误差也趋近于零。
在高斯提出他的猜想之后，他的学生黎曼（Bernhard Riemann）登场了。但为了更好地理解黎曼所做的事，让我们先讲另一则故事。故事的主人公是出生于18世纪初的瑞士数学家欧拉（Leonard Euler）。欧拉是史上最伟大的数学家之一，他的工作涵盖了数学的所有领域，书写了许多影响深远的教科书，且引进了许多数学术语和书写格式。与欧拉同时代的许多数学家，都曾想要理解无穷级数的一些性质。当把一些无穷级数中的数字加起来时，有时得到的总和是一个有限的数，这个数就被称为极限。比如无穷序列1, 1/2, 1/4, 1/8…的和的极限是2。这种存在极限的级数被称为是收敛的。
无穷级数1+1/2+1/4+1/8…的极限是2，是收敛级数。
但我们并不总是能得到一个有限的数。比如1+1+1+1+1……，最终得到的和会比任何有限数都大。因此我们说，这个级数是离散的。
无穷级数1+1+1+1…的极限不是一个有限的数，是离散级数。
有时，要判断一个给定级数收敛与否并非一件直观的事，比如下图所示被称为调和级数的无穷级数，虽然看起来它随着x的增大而越变越小，但实际上它是离散的。
判断一个级数收敛与否有时并不容易，比如看上去是收敛的调和级数实际是离散的。
要证明这个级数是收敛的其实并不难，难点在于它的确切极限是多少。欧拉找到了这个级数的和的极限，他证明了这个极限是：π²/6。
欧拉证明了一系列相似级数的极限，并将它们都表示为π的形式。
它们都无一例外的可以被表示成π的某种形式。那么，这种形式的级数有着什么共同的规律吗？我们可将这类函数定义为ζ(s)函数，s代表函数中的指数变量，ζ(2)指的就是级数的平方和，ζ(4)是级数的四次方和，以此类推。欧拉证明了，当s>1时，ζ函数都是收敛的。
除此之外，欧拉还发现ζ函数可被表示为如下图所示的形式：它是无穷个无穷级数的乘积，每个无穷级数与一个素数有关，比如第一个级数与2有关，第二个级数与3有关，第三个与5有关……在每个这样的无穷级数，都是由这一素数的所有幂的倒数的s次方相加而成的，将所有的这些无穷级数的和相乘，就能得到ζ函数。
ζ(s)函数可以表现成无穷个无穷级数的乘积，每个无穷级数是由一个素数的倒数的所有次幂的s次方的和构成。
如此一来，ζ函数和素数之间的关系就出现了！欧拉发现了这二者之间的关联，但其中的含义直到黎曼的出现才被揭示。黎曼是一位极具天赋的数学家，作出了许多伟大的数学成就。例如，他不仅发展了后来成为爱因斯坦的相对论的数学基础的黎曼几何，他还是复分析领域的奠基人之一。在面对欧拉的ζ函数时，他想知道，如果代入ζ函数中的s是复数时会发生什么。他将ζ函数扩展到了复平面，但就像欧拉一样，黎曼发现ζ函数只有在s的实部大于1（a>1）时才是收敛的，他希望可以将ζ函数扩展到复平面的其余部分。黎曼意识到，这一点可以通过使用复分析中的一种被称为解析延拓的技术来实现。解析延拓的关键在于，实际有两个函数在同时运作——一个是原始的ζ函数，它的运作范围有限（a必须大于1）；还有另一个全新的函数——黎曼ζ函数，它能扩展欧拉所定义的定义域。当ζ函数是收敛（a>1）时，黎曼ζ函数的取值与ζ函数相同；当a<1时，黎曼ζ函数就是由s处的级数定义的函数的解析延拓的值。（ζ函数无法被扩展到整个复平面，它在a=1处没有意义。）现在，让我们回顾在文首看到的那条曲线。观察这条曲线，会发现当函数的域被扩展时，一些神奇的事情发生了。在黎曼所发现的新的域里，函数可以穿过原点。这意味着当对函数输入一些特定的值时，函数值为0，这些值被称为ζ零点。有些ζ零点很容易解释，比如每当输入的是一个负偶数时，ζ函数就等于零。但这些所谓的平凡零点并不是黎曼所感兴趣的，他关注的是所谓的非平凡零点，而这些非平凡ζ零所具有的模式，正是黎曼猜想的中心主题。他发现，所有的非平凡零点，都处于一个被称为临界带的区域内，在这个区域内，s的实部在0到1之间。黎曼证明了在这个临界带中存在无穷多个非平凡零。1859年，黎曼发表了一篇开创性的论文，在这篇论文中，黎曼提出：所有非平凡零点都位于临界带中一条被称为临界线的直线上，也就是在复平面上s的实部等于1/2的地方。尽管黎曼未能给出证明，但从他的工作中，衍生出了两棵数学的苍天大树：一个是我们在前文提到的高斯猜想，由雅克·阿达马和德·拉·瓦莱·布森于1896年独立证明，成为了现在的素数定理；另一棵大树是在证明黎曼假设的途中得到的一系列深刻的结果，其中最深刻的是由皮埃尔·德莱涅在1974年证明的韦尔猜想。今天，利用计算机，数学家可以每天对超过10亿个非平凡ζ零点进行检验。一旦计算机能够找到哪怕一个偏离了临界线的ζ零点，都能证明黎曼猜想是错的。但是，在计算机所检查的数十万亿个ζ零中，没有一个不再临界线上。然而这样的点有无穷多个，因此这种靠蛮力计算的方法，或许永远无法解决黎曼猜想。在很大程度上，数学以外的其他领域的学者或许可以安心地假定黎曼猜想就是正确的，但要说服数学家，还需要一个真正严格证明的数学证明。1. https://www.quantamagazine.org/how-i-learned-to-love-and-fear-the-riemann-hypothesis-20210104/2. http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2004/04report_sarnak.pdf3. http://www.claymath.org/library/annual_report/ar2004/04report_riemann.pdf4. https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/finding-prime-locations-the-continuing-challenge-to-prove-the-riemann-hypothesis/#:~:text=Considered%20by%20many%20to%20be,for%20now%20only%20a%20conjecture.
