一课研究之《两数之和的奇偶性》的教学实践与思考

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——部分节选自曹培英《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读——推理能力》

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《两数之和的奇偶性》是人教版义务教育教科书五年级下册第二单元《因数与倍数》中的教学内容，用数的特征解决问题，让学生在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。

一、教材分析

比较各版本小学数学教材，《两数之和的奇偶性》内容都安排在五年级，但各自安排都有侧重。人教版和苏教版教材都先通过举例子进行猜想、再通过举例子验证猜想的推理过程，而北师大版教材仅在练习中设计了一道练习题。

对比人教版义务教育课程标准实验教科书中《两数之和的奇偶性》的内容安排，也仅在学习2的倍数的特征的基础上，在练习中以星号题的形式呈现，让学生结合具体的数来理解奇数和偶数的性质。

由此看来，人教版义务教育教科书中以解决问题的形式单独安排《两数之和的奇偶性》，通过研究两数之和的奇偶性的纯数学问题，重点要引导学生经历较为完整的问题解决过程，并渗透解决问题的策略。

教材根据奇数、偶数相加的三种情况，提出了三个问题。阅读与理解环节给出了三个问题的一种表征方式，即用算式表示。分析与解答环节提示了三种获取结论的方法，即举例、说理和图示。通过三种方法的结合使用，帮助学生理解，提高结论的可靠性和学生对结论的确信感。回顾与反思环节，给出了用大数试一试的检验方法，并启发学生思考其他的验证方法。

二、目标定位

根据以上的教材分析，本课时教学目标可以确定为以下几点：

1.经历探索两数之和的奇偶性的过程，在活动中发现加法中的数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。

2.能借助几何直观及多种解题策略，认识两数之和奇偶性的必然性。

3.培养探究能力，积累观察、猜想、归纳等思维活动的经验，丰富解决问题的策略，积累活动经验。

4.使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。

教学重点：探索并理解两数之和的奇偶性。

教学难点：能应用两数之和的奇偶性分析和解释生活中一些简单问题。

三、教学活动

#01

转盘上的数学

谈话导入：今天，老师给大家带来一个转盘，大家来做一个转转盘的游戏。瞧，转盘分12格，有小轿车、电脑、电视机、冰箱、小刀、橡皮、练习本等，看看谁的运气好，能中奖。

（1）明确规则：转动转盘，待转盘停止转动后，指针对着数字几，就往下走几格，走在哪一格上，就得到这格中的奖品。
（2）学生游戏：
（3）活动反思：为什么会得不到大奖？

（4）启迪思考：你猜这和什么有关？任意两个数相加，不管是奇数还是偶数，它们相加的和都是偶数吗？

#02

初探奇偶性

1. 交流验证的想法;
2. 学生小组合作，验证设想；
3. 交流验证方法：　

Vol.（1）

举例法：学生列举出一些自然数相加的例子验证前面的猜想，例如：

通过学生举例，让学生发现这样的例子是举不完的，以感受不完全归纳法。

Vol.（2）

余数法：奇数除以2余1，偶数除以2余0，奇数加偶数的和除以2还余1，所以⋯⋯虽然学生的语言不够严谨、规范，但能够根据余数的特点来说理验证，这也是思维上的一次飞跃。

Vol.（3）

图示法：通过摆正方形的方法，来解释两数之和的奇偶性。

这样的数形结合，可以让学生更好地理解两数之各的奇偶性。同时也直观地解释了前面的余数说理法。

Vol.（4）

看个位法：根据能被2整除的数的特征，学生不难发现，判断两数之和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字。以“偶数+偶数=偶数”为例，个位相加的全部情况如下：

通过有序的搭配，让学生体会完全归纳法比不完全归纳法在证明时更具有说服力。

Vol.（5）

字母法：偶数可以表示为2n，奇数可以表示为2n+1；偶数+偶数可以表示为2n+2m=2(n+m) ，所以和是偶数；奇数+奇数可以表示为 2n+1+2m+1=2(n+m+1)，所以和还是偶数；奇数+偶数可以表示为2n+1+2m=2(n+m)+1，所以和是奇数。这是演绎推理的渗透。

4. 得出结论：通过多样化的解决问题策略，使学生对两数之和的奇偶性理解得更透彻。

奇数+奇数＝偶数

偶数+偶数＝偶数

奇数+偶数＝奇数

#03

探究多数和的规律

1.启迪思考：如果有三个奇数（或偶数）相加，结果是奇数还是偶数呢？4个奇数（或偶数）相加的和呢？

2. 自主验证：应用刚才的验证方法，分组选择其中一个项目进行自主探究。

3. 汇报交流，得出结论。

奇数个奇数的和是奇数；
偶数个奇数的和是偶数；
任意个偶数的和是偶数。

#04

反思奇偶性

这个结论正确吗？你可以怎么验证？

大数验证法

前面得出规律用小的数，现在可以用大的数来进行验证。如687+1039＝

大数验证时也可以简单地用看个位法等上面所用的方法来解释。

关系验证法

根据加法和减法的关系，运用和－一个加数＝另一个加数，看看减法中的差的奇偶性。

#05

应用奇偶性

这是教材例2后面练习中安排的一道习题，运用规律来解释两队人数的奇偶性，体会到生活中处处有数学。当然，我们也可以运用规律来判断多个数之和的奇偶性，以进一步巩固学生所学的知识，习得方法。例如：

1. 5556842+331587＝5888430 对吗？

2. 不计算，判断各题的结果是奇数还是偶数？

1+2+3+…+8+9+10 的结果是（　）数。

1+2+3+…+2019+2020+2021的结果是（　）数。

1+2+3+…+2020+2021+2022的结果是（　）数。

通过运用奇偶性规律快速判断或检验得数，增强学好数学的信心和应用数学的意识。

四、教学思考

01 用算式表征问题

学生有意识地用算式表征问题，这是数学建模的起点。面对“奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和呢？”这样较复杂的数学问题，学生根据题意转化为三组算式：

奇数+偶数=奇数

奇数+奇数=奇数

偶数+偶数=偶数

使问题简洁明了，学习目标明确，有利于自主探索。

02 多策略建立模型

解决问题的中心环节是分析与解答，运用多种方法结合获取结论，这也是数学建模的重要环节。在学生自主探究过程中，放手让学生通过独立思考、小组合作、自主发现。通过举例、图示、说理，以及看个位法、余数法、字母法等，让学生经历从不完全归纳到完全归纳，从合情推理到演绎推理。通过观察、分析、抽象、概括等数学活动，完成了模式抽象，得到两数之和的奇偶性模型。通过多样化的解决问题策略，学生经历了多种推理方法，才能进一步发展推理能力。

03 多维度验证模型

得到模型，获得结论，需要进行验证。教材中提醒了举例验证。举小数字例子，便于得出规律。那么在验证时，往往会用大数字例子检验。还可以根据学生的认知采用联想验证，运用加减法的关系解释简单的数学问题。通过多维度的验证，结论与检验结果吻合，增加结论的确信度。

04 多途径应用模型

用模型解决生活中相应的问题，体现模型价值。一方面运用两数之和的奇偶性规律，可以解决多个数之和的奇偶性规律的探索；另一方面运用奇偶性的模型，可以解决生活中的实际问题。如教材练习中的队伍人数问题，关电灯的问题、翻杯子的问题等等，还可以让学生经历了和的奇偶性的学习过程，用迁移独立解决积的奇偶性，甚至研究商的奇偶性等，举一反三。

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试一试：翻杯子的学问

五只杯子的杯口全部朝下，每次翻动其中的2只（一定要翻2只），能否经过几次的翻动，使五只杯子的杯口全部朝上？

你若盛开      蝴蝶自来

本期审核人：李素荣、鲁孟军