每周中考题：数学竞赛题-相似的巧妙运用

如图，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA=300°，AB·CD=BC·AD，证明：AB·CD=AC·BD；

这道题的突破点其实并不容易想到，

根据条件300°可以得到60°，

但这个60°明显是∠BCD+∠BAD的和，

所以首先两个角加起来才是60°，

而且这个60°能用来干嘛？

两个方面的疑问，如果解决不了，那么这道题就不用说了。

既然我们知道了∠BCD+∠BAD=60°，

那么我们不妨就将它们放在一起，

如图，我们在点C处向上做一个60°的角，

同时为了让这个60°角具备最大用处，我们构造出一个等边三角形△CBE，

那么同时再连接DE，

这样一来，∠DCE=∠DAB，

虽然图上不太像，但是·····脑补吧

那么再看题干的第二个条件，

AB·CD=BC·AD，

由于CE=BC，

所以可以变为AB·CD=CE·AD，

转换比例AB：CE=AD：CD，

邻边成比例，夹角相等，

所以△ECD∽△DAB

那么AB：CE=AD：CD=BD：DE，

同时∠CDE=∠ADB，

即AD：BD=CD：DE，

邻边成比例，夹角相等，

所以△EDB∽△CDA，

所以AD：BD=CD：DE=AC：BE=AC：BC

∴AD·BC=AC·BD

即AD·CE=AC·BD，

由于AB·CD=CE·AD，

所以AB·CD=AC·BD；

构造等边三角形的时候我们选择了顶点C，而且是向上构造，所以不排除顶点A处及其他辅助线构造方法