GD＆T培训｜理想要素和复合位置度的测量计算
我们平时见到的三坐标的测量结果是如何来的？测试软件的后台是如何计算的？相信很多小伙伴都想弄清楚这个问题，这里我们就结合相关标准进行探讨。
在进入话题之前，我们先看看一个案例：
图1 图纸标注
这是一个典型的复合位置度的标注，我们假设实际零件中的A孔轴线和B孔轴线与A基准理想垂直，但是XY的坐标分布与理论分布有差异，如下图：
图2 实际零件
我们的问题是，对于图2所示的实际零件，根据图1的标注，复合位置度的实际测量值应该是多少呢？
各位小伙伴在继续往下看之前，可以尝试做去做一做。再用PCDMIS验证一下是否正确。
我们会在最后公布本题的计算方法和答案，在弄清楚之前，我们先弄清楚理想要素。
1. 理想要素
所谓测量的过程就是理想要素和实际被测要素的提取要素的比对过程。实际被测要素的提取要素很容易理解，就是测试设备在实际零件的被测特征上采的点。 那什么是理想要素呢？它其实就是一个理想的特征，一个理想的点（组），线或轴线（组），面（组），或曲面（组）。
它是怎么来的呢？它可能是拟合出来的，通过切比雪夫法（最大值最小法）自由拟合或者在一定的约束的前提下拟合出来，如形状公差和方向公差的理想要素，可能是人为定义的，如位置度的理想要素，当输入理论值或者坐标值时，理想要素就确定了，也有可能是输入的数模，如评价轮廓度是的3D数据。
不管理想要素是如何来的，但是它和图纸上对应的几何公差的公差带有很多相似的特点。如在几何公差中，基准能约束公差带的几个自由度，那么理想要素的几个自由度也就被约束了，对于基准不能约束的自由度，则是在保准基准约束优先的前提下由实际被测要素约束（通过最大值最小法拟合）。
相信到这里，会让很多小伙伴一头雾水。多说无益，我们还是来看看几个案例吧.
I. 最小区域法中的理想要素
图3 形状公差的理想要素
如图3所示的直线度要求，直线度没有基准，所以直线度公差带（相距为0.1的两平行线之间的区域）的自由度没有被约束。所以直线度对应的理想要素（一根理想的直线）的自由度不受外部特征的约束，而受实际被测要素（弯弯曲曲的那根曲线）约束。在实际的测量计算的过程中，首先要根据弯弯曲曲的实际被测要素用切比雪夫法（最大值最小法）拟合出一根直线，这根直线就是传说中的理想要素，这根直线在空间中的方向和位置完全是由被测要素（弯弯曲曲的线）所决定。
这根传说中的理想直线有啥用呢？只要我们上下慢慢平移这个直线去刚刚好包住实际被测要素，然后最上面的一根线和最下面的一根线之间就形成了一个区域边界，见图3右边那个图，而这个区域也就是另外一个传说中的最小区域法的那个最小区域，它具备3个特点：
1.这个最小区域的形状和公差带的形状相同
2.这个区域包含所有的被测要素（或其提取要素）
3.这个区域在满足上面1，2条件所有的区域中最小
到这里有人会相当不耐烦了，说这么多废话，能不能整点有用的东西呢？
确实有点不值得，我们拐了那么多个弯，就是想说明一个点：
这个最小区域的宽度d，就是我们在测量报告上看见的那个直线度的实际测量值。只要满足d<=0.1,该零件的直线度合格（需要注意的是，直线度定义的是平行于视图所有的线，每一条实际的被测线都有自己对应的d值，而我们把直线度最大的值作为输出值）。
在回顾一下我们拐弯抹角的轨迹：
采点（实际要素的提取要素）-> 拟合理想要素->找到最小区域->得到实际测量值。
需要提出的是，最小区域法的那个区域和公差带的形状相同，但是不是公差带。另外，最小区域的大小，取决于实际要素相对于理想要素的变动量了，再次强调，测量的过程就是实际要素和理想要素的比对过程。
到这里，相信很多好专研的小伙伴又会问，那什么是牛逼哄哄的切比雪夫法呢？它的计算公式是什么样的呢？
对不起，恶心大家一把，请关注我的下一篇文章吧。反正大家知道切比雪夫法是一种算法就行了，和最小二乘法类似（也就是高斯法）。
大家需要记住切比雪夫法的特点是，绝对的中间主义，永远处在最好和最坏的平分线上，谁都不偏袒。而最小二乘法，多少有点民主，倾向于大多数。
顺便提一下，人家切比雪夫虽然比不上非人类的高斯牛逼，但他可是俄罗斯本土数学派的奠基人哦，他之前俄罗斯的数学烂得扔在地上没人捡，他之后的俄罗斯派数学马上升到世界前列的高逼格了（当然彼得大帝也有相当的作用）。
牛犊子扯远了，继续。
II. 定向最小区域法中的理想要素
在形状公差的理想要素的拟合中，理想要素是完全由实际的被测要素拟合出来的，不受任何外界特征的约束。如果说它是天生草根的屌丝一个，那么在方向公差里的理想要素，还多少有点血统因素在里边：
图4 方向公差的理想要素
关于方向公差的实际评价方法，官方说法是定向最小区域法。啥意思呢，也就是说存在这么一个区域，它必须满足三个条件：
1.这个最小区域的形状和公差带的形状相同，而且方向必须绝对垂直于A
2.这个区域包含所有的被测要素（或其提取要素）
3.这个区域在满足上面1，2条件所有的区域中最小
那么这个定向的最小区域的宽度d,就是该垂直度的实际测量值。
这个最小区域的边界怎么来？也是由理想要素包出来的。此时的理想要素也是由实际被测要素拟合而来，只是这时的拟合不是自身自灭，没人管的自由拟合，在拟合的过程中有个约束条件，那就是该理想要素（一个理想的平面）要绝对垂直于A基准，基于这种约束条件拟合好后，该理想要素在空间中的方向和位置就确定了。
再用这个拟合好的理想要素去夹被测要素，刚刚好夹住后，他就形成了定向最小区域的边界。
所以对于方向公差中的理想要素，说它有点血统关系，那是因为在拟合它的时候受到一定的约束条件（和基准保持理想的方向关系）。
III. 定位最小区域法中的理想要素
定位最小区域法中的理想要素，简直就是含着金钥匙出生，它完全是由基准决定，和被测要素自身没有任何关系，不需要拟合。见下图:
图5 位置公差的图纸
在图5中，公差带在空间中的六个自由度被基准约束了，也就是说公差带相对于基准ABC来说，方向和位置是固定死的。前面我们也提到过，基准限制了公差带多少个自由度，它也限制了理想要素多少个自由度。在图5里边，位置度的理想要素也是完全被基准限制死了，A限制方向（垂直于A), B和Ｃ通过理论值确定了理想要素的位置，所以这时的理想要素刚好在公差带的中心。见下图：
图６ 定位最小区域
如图６所示，图中的最小包容区域实际上也是定位最小区域。所谓的定位最小区域是一个圆柱，该圆柱有三个特点：
1.这个圆柱的形状和公差带的形状相同，圆柱的中心必须和理想要素重合，也就是和公差带的中心重合。
2.这个圆柱包含所有的被测要素（或其提取要素）
3.这个圆柱的直径最小
满足上面三个条件的圆柱，就是定位最小区域法的区域，该圆柱的直径ｄ就是实际零件位置度的测量值。显然可以看出，这个直径ｄ，也就是在实际被测要素中，和理想要素距离最远点的距离２倍。
２. 复合位置度的实际测量值
回到我们刚开始的那道题：
图７ 复合位置度的测量值计算
分析复合位置度时，我们必须一行一行分析。实际测量复合位置度时，每一行都必须要测量评估，给出测量的结果。
１）第一行的分析
图７中，已经给出了实际被测要素的实际坐标值，如果要得出实际的测量值，我们只要三步：
第一步：找出理想要素，确定它在空间中的方向和位置
第二步：理想要素和实际要素进行比对，用最小区域去框住实际被测要素
第三步：计算该最小区域的大小，即为实际的测量值。
第一步找出理想要素，对于图７中，理想要素是什么几何特征呢？它其实就是两根绝对平行的轴线，而且这两根轴线的距离是绝对的４０，见下图：
图８ 孔组的理想要素
对于复合公差第一行的理想要素比较好确定，因为第一行的公差带的自由度被基准限制死了，理想要素也被限制死了，它就是公差带的中心，我们只要将实际被测要素和公差带中心（理想要素）做比对画圆柱就可以得出最小区域，见下图：
图９ 第一行的测量值的确认
请仔细观察图９中的理想要素和实际被测要素，显然有，Ａ孔的实际测量值和Ｂ孔的测量值为：
２）第２行的分析
同样，分析第二行的时候，要分析公差带的特点。首先，我们说在复合位置度里边，第二行和第二行以下所有的基准都是被阉割过的，即都是被“去定位”的，这些基准对公差带的限制只能定方向不能定位置。
所以第二行的公差带是两个直径为0.15的圆柱，该两个圆柱轴线理想垂直于A，相距为理想的40. 关键在于，这两个圆柱相对于B的方向固定，即这两个圆柱轴线的连线和B绝对平行。但是，因为B不能限制公差带的位置（去定位），所以作为公差带的两个小圆柱在保证和A垂直而且相距是40的前提下，可以一起上下同时平移（不能一起旋转）。又因为没有C来限制左右移动，所以这两个圆柱也可以左右平移。
分析完公差带的特点我们再来分析理想要素的特点，前面提过，理想要素的特点和公差带类似，也就是说该理想要素（理想的两根平行的轴线，距离是绝对的40），它要和A保持理想垂直，和B的方向固定。这是前提条件，剩下的，它可以同时左右和上下平移，这些自由度由被测要素来限制。如何限制呢？
还是先通过切比雪夫法（很多软件采用的是最小二乘法）去尽最大限度的靠近被测要素，使得理想要素和两个被测要素各自的距离优化到最小。图例给的比较特殊，所以我们想想就可以知道，理想要素在保证和A垂直，距离是40，而且它们的连线和B要平行的情况下，只有在下图位置是最优的（任何其他位置都会导致和实际被测要素的距离变大）：
图10 第二行测量值的确认
从图10中可以看出，经过“最佳拟合”后，理想要素和实际被测要素的距离最近，e,f分别表示左右孔的理想要素和被测孔轴线的距离，而且有：
e=f=0.15（25.1-24.95或24.95-24.8）
所以对于复合位置度第二行的实际测量值为AB轴的最小包容区域的直径，则为2xe或2xf, 所以有:
A孔位置度0.3，B孔位置度0.3 .
3）第3行的分析
基于同样的逻辑，我们再来分析第三行。先分析公差带的特点，它的公差带是两个直径为0.08的圆柱，该两个圆柱和A绝对垂直，两圆柱轴线的距离是理想的40, 其它的自由度则没有被限制。
前面提过，理想要素具备公差带相似的特点。和第二行做比较，因为没有B基准限制方向，所以该理想要素（两根平行的轴线，垂直于A，距离g=40）除了在垂直于A的前提下可以一起上下平移，左右平移，还可以一起旋转。
理想要素利用这些自由度拼命的靠近被测要素来实现最佳拟合（切比雪夫法或最大值最小法），拟合好后（e和f最小），就形成下面的样子：
图11 第三行测量值的确认
上图中g=40，又因为有e=f, 计算e或f很简单，图11中简单的几何关系可以得出，用A孔实际被测要素轴线和B孔被测要素轴线间的距离减去g(40)再除以2，则可以得到e和f, 公式如下：
因为e和f又表示AB轴最小包容区域的半径， 那么第三行的测量结果则为AB孔轴的最小包容区域的直径：
A孔位置度0.0012，B孔位置度0.0012 .
总结：
本文讨论了理想要素的含义和特点，如果它是一个单一特征，它本身的形状是理想的，如果是特征组，则特征和特征之间的方向和距离理想。
关键问题在于，理想要素相对于实际被测要素的方向和位置应该在哪里。如果将基准比喻成为父母，我们的理想要素则是一个乖乖女， 从不违背父母定下的规则（基准的功能）。而邻居家有一个毛孩子（实际被测要素），乖乖女很想跟毛孩子一起玩，于是在不违背父母规则的情况下去想尽办法靠近这个毛孩子（定位最小区域的理想要素的拟合或定向最小区域的理想要素的拟合）；若这个乖乖女没有父母（如没有基准的形状公差），则是变成了野孩子，成天和邻居家的毛孩子混在一起。这就是所谓切比雪夫法的特性（很多软件采用的最小二乘法）。
只要我们掌握了基准定下的规则，理想要素具备拼命想靠近实际被测要素的特点，而且我们采用的方法是切比雪夫法（或最小二乘法），这是一个谁都不想得罪的中间主义逻辑，那么就不难算出理想要素相对于被测要素的位置，从而得出最小包容区域的大小，即实际测量值。
如果各位小伙伴能够耐心看完这篇连我都难受的文章，还不觉得恶心的话，可以自己计算一下下面这个组合位置度的实际测量值，可以用PCDMIS来验证你的计算是否正确哦。