37解析几何解法：倒行逆施-存在问题

37：倒行逆施 - 存在问题

圆锥曲线中,经常会遇到这样一类问题:是否存在顶点,使XXX成立、是否存在定直线使XXX成立等问题。对于这类问题,我们通常采用反正法,即假设存在,由此进行推断假设的真假性,这就是我们在这要给大家介绍的倒行逆施。

(1)求解存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的几何元素或参数值,就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的几何元素或参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.

(2)解决存在性问题应注意以下几点:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.

(3)解决存在性问题的解题步骤:

第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组);

第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在;

第三步:得出结论.

(2019全国I卷文)已知点

,

关于坐标原点

对称,

,

过点

,

且与直线

相切.

(1)若

在直线

上,求

的半径;

(2)是否存在定点

,使得当

运动时,

为定值?并说明理由.

【思路分析】(1)由条件知点

在线段

的中垂线

上,设圆

的方程为

,然后根据圆与直线

相切和圆心到直线

的距离,半弦长和半径的关系建立方程组即可;

(2)设

的坐标为

,然后根据条件的到圆心

的轨迹方程为

,然后根据抛物线的定义即可得到定点.

【解析】

故点

,

且

在直线

上,

点

在线段

的中垂线

上,

设

的方程为:

,则

圆心

到直线

的距离

,

又

,

在

中,

,

即

①

又

与

相切,

②

由①②解得

或

,

的半径为2或6;

(2)

线段为

的一条弦,

圆心

在线段

的中垂线上,

设点

的坐标为

,则

,

与直线

相切,

,

,

,

的轨迹是以

为焦点

为准线的抛物线,

,

当

为定值时,则点

与点

重合,即

的坐标为

,

存在定点

使得当

运动时,

为定值.

1.(淮安市调查测试)已知椭圆

,点

、

分别是椭圆

的左焦点、左顶点,过点

的直线

(不与

轴重合)交

于

两点.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)是否存在直线

,使得点

在以线段

为直径的圆上,若存在,求出直线

的方程;若不存在,说明理由.

2.(南通市第二次调研)在平面直角坐标系

中,已知点

是动点,且

的三边所在直线的斜率满足

。

(1)求点

的轨迹

的方程;

(2)若

是轨迹

上异于点

的一个点,且

,直线

与

交于点

.

问:是否存在点

,使得

和

的面积满足

?若存在,求出点

的坐标;若不存在,说明理由.