传奇数学家斯梅尔（三）
贡献数理经济学
20 世纪 60 年代末期，斯梅尔开始涉足数理经济学。他在《数理经济学杂志》等刊物上，发表了价格调整的动力学等一系列论文 ；80 年代由诺贝尔经济学奖获得者及相应水平的学者编撰的三大卷的《数理经济学手册》，有斯梅尔的一章“大范围分析和经济学”。1983 年度诺贝尔经济学奖获得者德布鲁（Gérard Debreu）在他的获奖演讲中明确指出，正是斯梅尔 1968 年向他介绍的萨德定理（Sard's Theorem），在 1970 年促成了他的主要理论的结晶。在当代科学的前沿发展中，这是值得大书一笔的学科交互渗透相得益彰的范例。
斯梅尔和德布鲁的首次见面，是在 1968 年。那时，他们都已经在伯克利，斯梅尔是数学系教授，德布鲁是经济学系教授。一天，德布鲁为了自己的经济学研究，走到斯梅尔的办公室向他请教数学问题。从法国移居美国的德布鲁 , 曾经受过布尔巴基学派的严格训练，数学基础扎实，而斯梅尔又是一个学术思想非常活跃、研究兴趣相当广泛的学者，所以他们之间很快就可以相互理解地讨论数学定理和经济学问题了。事实上，德布鲁提出的问题，正是斯梅尔研究数理经济学的开端。在后来的日子里，他们经常长时间地进行讨论，这也往往是他们一起外出游玩的真正目的。这样合作下来，在 1975 年德布鲁成了数学系的兼职教授，而 1976 年，斯梅尔也在经济学系取得了同样的位置。
英国古典经济学派的创始人亚当 · 斯密在 1776 年的名著《国富论》中写道，在自由经济的条件下，每个人追求的是个人的利益，但有一只“看不见的手”引导他去促进社会的利益。100 年以后，洛桑学派的创始人瓦尔拉斯（Leon Walras）在 1874 年的《纯粹政治经济学原理》中，把斯密的说法提炼为经济均衡的概念：他把“看不见的手”解释为市场的价格调节机制，把“社会利益”解释为供求均衡，考虑在各方都追求私利的条件下，是否存在一组合适的所谓均衡价格，使得由此决定的市场供给和市场需求正好相等。又过了半个世纪，沃尔德（Abraham Wald）使斯密 - 瓦尔拉斯的思想得到严格的数学陈述。从此，如何严格证明均衡价格的存在性，成了数理经济学的中心问题。
诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森、希克斯、阿罗和库普曼都对这一问题作出过贡献，而德布鲁受到纳什（John Nash）先前证明有限博弈必定存在纳什均衡的启发，首次令人满意地证明了一般经济均衡理论中均衡价格的存在性，他用的是凸分析和布劳维尔不动点定理。
如果均衡是唯一的，有关经济模式对均衡的阐述就完整了。但是到 20 世纪 60 年代后期已经清楚，整体唯一性的要求太高，局部唯一性将足以使人满意。在获奖演说中，关于局部唯一性的条件，德布鲁是这样说的 ：
“正如我在 1970 年所做的那样，可以证明，在适当的条件下，在所有经济的集合中，没有局部唯一均衡的经济的集合是可以忽略不计的。这句话的确切含义及证明这个断言的基本数学结果，可以在萨德定理中找到，这个定理是斯梅尔在 1968 年夏天的交谈中向我介绍的。整个讨论的各个部分最后是在新西兰南岛的米尔福海湾完成的。1969 年 7 月 9 日下午，当我和妻子弗郎索瓦抵达那里的时候，遇上天阴下雨的坏天气。这迫使我回到房间里工作，继续研究困扰我多时的课题。而这次，观念竟很快结晶。第二天早上，晴空蓝天在海湾明媚的仲冬展现。”
萨德定理说，如果 f : M → N 是微分流形之间的光滑映射，则 N 的几乎每一点都是 f 的正则值。换句话说，f 的临界值在 N 中只是一个零测集。萨德定理其实是说，在适当的光滑性条件下，正则现象是通有的（generic），其几率为 l，而临界现象的几率为 0，常常可以忽略不计。的确，德布鲁就是借此定义了正则经济和临界经济。正则经济具有满测度 ；从而对正则经济业已建立的均衡集及其稳定性的结论，是合理的经济分析。
斯梅尔本身的经济学研究，见诸他已发表的许多论文，笔者等在别的地方的介绍文章亦可一阅。当得知德布鲁如所预料获奖时，斯梅尔写了一篇短文，在一页半的篇幅里精辟地介绍了德布鲁的工作，给予了高度评价。但这并非捧场应景的文章，其结尾蕴含着深刻的分析 ：
“这并不意味着均衡理论就该是社会的模式。首先，它假设没有垄断，但是在一个分散化的经济系统中，垄断总是要产生的。其次还有不公平。阿罗和德布鲁证明了，当处于均衡配置时，没有人可以不损害别人就使自己更加受益。然而，理论本身却未排除社会产品的不公平分配。因此，政府对分散化的价格体系的有力调控，仍然需要。
特别重要的是，在阿罗 - 德布鲁的理论中，时间的进程没有得到充分的考虑。由于缺乏动力学的观点，他们的理论还不能很好地说明为什么价格体系要向均衡状态调整，为什么会停留在均衡状态。再一个有关的弱点是，他们的模式对经济主体人的行为理性化提出了不切实际的要求。要知道，即使配备了最新式的计算机，消费者和生产者也不可能作出该模式所要求的高度理性的决策。
尽管后面还有许多诱人的挑战，现在毕竟已经有了一个良好的框架。这就是两个世纪以来经济学家们奠定下来的基础，其中我们特别要提到斯密、瓦尔拉斯、沃尔德、阿罗和德布鲁。”
发表这篇文章的美国《数学信使》（Mathematical Intelligencer）杂志，特别鼓励出自大师的小品或随笔，轶事牢骚，亦悉听作者之意。
斯梅尔的传记
创新计算复杂性理论
20 世纪 70、80 年代，斯梅尔的研究重点是计算复杂性理论，主要是数值方法的计算复杂性理论。1981 年，他发表论文证明，概率地说来，用牛顿方法为 n 阶多项式找到一个零点的成本随 n 增长的速率不超过 n 9/μ7 ，这里μ ∈ (0, 1)，是允许论断失败的概率。不久以后，他又发表论文论述，概率地说来，即除去一部分最坏和较坏的情况以后，线性规划的单纯形方法的计算成本随问题规模增长的关系是线性的。这些都是令人瞩目的突破性进展。
研究计算方法，就不能不考虑计算成本或算法效率的问题。在这个意义上，数值方法的计算复杂性讨论可谓源远流长。然而，直到 20 世纪 70 年代，讨论都带有局部的和渐近的特征。
斯梅尔的加入，是数值方法计算复杂性讨论从最坏情形讨论进入到概率情形讨论并且取得重大突破的开始。笔者曾应斯梅尔教授的邀请访问过伯克利，对斯梅尔作为这一发展的学术带头人所起的巨大作用有深刻的印象。短短四年之内，《美国数学会公报》先后刊发了他的开创性论文《代数基本定理和复杂性理论》和深刻述评《关于分析算法的效率》，四年一度的世界数学家大会在 1986 年的伯克利大会上又邀请他就这一发展作题为“解方程的算法”的一小时报告。在纯粹数学和应用数学的边缘领域，得到如此重视，十分罕见。
有兴趣的读者当然会找上述文章认真研读，笔者也就此发表过一篇专论，所以在这里，我们宁愿多谈一些学术环境和治学风格的问题。
正是在用动力系统框架处理价格调节的市场机制时，斯梅尔提出了整体牛顿法的概念。这一发展当然引起了人们的兴趣，因为牛顿方法是计算数学或数值分析的传家宝，通常只具有局部收敛性。斯梅尔从计算机科学的复杂性理论汲取营养，在动力系统的框架上处理算法及其效率的问题，形成数值分析复杂性理论的新发展。《论语 · 为政篇》曰 ：“七十而从心所欲，不逾矩。”斯梅尔很早就达到了这样的境界。
斯梅尔关于数值分析计算复杂性理论的工作，主要通过与合作者和研究生的经常性讨论进行。研究生课程，就围绕有关课题展开，由斯梅尔主持，同时邀请有关专家作相关进展的报告。笔者 1983 年春天的应邀访问，报告我们关于 Kuhn 算法算出 n 阶多项式全部 n 个根所需要的多项式计值次数不超过 n 3 log 2 (n/ε) 的结果，这里 ε > 0 是计算的精度要求，就属于这种性质的安排，是 1983 年春季学期他那门研究生课的第一个外邀演讲。
课程往往针对未解决的问题展开，斯梅尔在课上讲问题的提出和自己的想法，课上就进行解决问题的各种尝试，这就为研究生提供了参与解决重大课题的可能性。即使按照科学研究的规律，有时具体目标最终未能实现，但学生们还是学到了许多东西。要知道，导师如何提出问题思考问题，如何在碰钉子后转弯，如何在一项设想被证实行不通时获取关于原问题的进一步的信息，这一切，恰恰难以在书本或正式发表的论文中学到。当成果整理成文时，作者通常不谈在这之前艰苦摸索的历史 ；即使个别作者愿意提及，学报也不屑于刊登。
在斯梅尔的合作者当中，特别应当提到布卢姆（L.Blum）、雷内加（J. Renegar）和舒布 （Mike Shub）。由这些人组成的斯梅尔学派，领导着当时数值分析计算复杂性讨论的主流。
斯梅尔活跃的研究工作也招来若干非议。除了部分纯粹数学家对应用数学的传统偏见外，斯梅尔有时行文不够严密是一个原因。一篇重要论文隐含几处数学失误和几十处印刷毛病的例子，也曾发生。显然有这样的情况 ：他不是在严密论证后得出某个结果，而是相信结果会是怎样然后有点马虎地写几行备忘式的论证。读这样的文章当然特别吃力，我们就做了一些铺平的工作。当你花费九牛二虎之力将漏洞补上时，只好佩服他那卓越的数学洞察力。也有若干至今没有补上、依然存疑的地方，也许要留待将来去辨明。斯坦福大学运筹学系的伊夫斯（Curtis Eaves）教授说，斯梅尔只管提供思想，把细节留给别人。这代表不少人的信念，尽管那些细节实在不细。种种原因，难怪一些有造诣的数学家也会说斯梅尔是弄潮公子（playboy），按照他们的国情，这很难说是恶意。我们在前面谈到过与他同辈的斯塔林斯和赫希，前者在他之后用逻辑上独立的方法证明了高维庞加莱猜测，后者经常与他合作，名著《微分方程、动力系统与线性代数》就是一项结晶。斯塔林斯就曾在一篇公开的文章中写道 ：两相比较，赫希更像一个刻苦工作的数学家，而斯梅尔或多或少是一个幸运的狂人。
苏联著名数学家阿尔诺德（Vladimir Arnold）曾多次应邀在世界数学家大会上作一小时报告，他的许多著作被译成英文和其他文字。他同意爱因斯坦的话 ：现代教学方法如果没有完全扼杀人类神圣的好奇心，就已经可称奇迹。他推崇他的导师柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）除了激励以外，还给学生许多自由。在一篇访问记中，他曾对数学论著的刻板风格提出过尖锐的批评。他说 ：
“对于我来说，要读当代数学家们的著述，几乎是不可能的。因为他们不说'彼嘉洗了手’，而是写道'存在一个 t 1 ＜ 0，使得 t 1 在自然映射 t a 彼嘉的手（t）之下的像属于脏手的集合，并且存在一个 t 2 ，t 1 ＜ t 2 ＜ 0，使得t 2 的像属于脏手的集合的补集。’不过，有几位数学家，比方说米尔诺和斯梅尔，他们所写的文章，是仅有的不这样故弄玄虚的例子。”
是的，斯梅尔的确独树一帜。
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