利用勾股定理确定最短路径问题

我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.

例1如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（  ）

分析　根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.

说明　在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.

例2如图1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.

分析　要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.

说明　对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.

（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

例4恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S₁＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S₂＝PA+PB.

（1）求S₁、S₂，并比较它们的大小；

（2）请你说明S₂＝PA+PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.