瓜豆解决最短路径问题

将军饮马问题我们比较熟悉了，也就是一条直线上一点到同侧两定点距离之和最小值的问题。

我们之前也求过胡不归与阿氏圆有关的最短路径问题，涉及系数不为1的情况。

今天再来介绍一种类似的问题：

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【题目】

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）在y轴上，点B的坐标为（3，2），在x轴上面确定一点P使得1/2AP+BP的值最小。

我们说的将军饮马问题PA与PB的系数都是为1的。那么现在系数不为1的时候怎么办呢？

如下图，以AP为边，构造直角三角形APC，使得PC=1/2AP，就把问题转化为了求PB+PC的最小值了。

但是点P运动的时候，点C的轨迹是怎样的呢？

观察上图，可以发现点P运动的时候，点C始终在一条直线上面运动。那怎么确定这条直线呢？

当点P与x轴重合时，点C（C'）落在x轴上的C'处，易得△AC'C∽△AOP，可以得到∠AC'C=90°，所以点C已知在AC'的垂线上面运动，那求最短路径就不难了。

如上图，当点B、P、C三点共线时最短，此时点P的坐标是（2，0）。

当然，除了可以得到AP的一半，其实也可以将BP放大。相当于求“1/2AP+BP”的2倍的最小值，然后再除以2即可。

如图，以BP为边，构造直角三角形BPD，使得DP=2BP，那么求

1/2AP+BP

就转化为求

1/2(AP+2BP)

的最小值了，也就是求

AP+DP

的最小值。

那么可以发现点D的运动轨迹也是直线，当A、P、D共线时最小，点P的坐标依然是（2，0）。

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其实此类问题和光行最短是类似的，可以把上面的问题看成光的折射问题。

当光由x轴上方的点B射入x轴下方时，可以假设两个区域是不同的介质，光的传播方向发生了变化。

光的折射是指光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生改变，从而使光线在不同介质的交界处发生偏折的现象。

相对折射率公式：

真空的折射率等于1，两种介质的折射率之比称为相对折射率。例如，第一介质的折射率为

，第二介质的折射率为

，则

称为第二介质对第一介质的相对折射率。某介质的折射率也是该介质对真空的相对折射率。于是折射定律可写成如下形式:

皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601年8月17日～1665年1月12日），法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，他还是概率论的主要创始人，以及独撑17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。

费马原理（Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。

费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。