号称历届最难的广东中考数学选择压轴题:抛物线上应用圆半径最长

今年,2021年的广东中考数学卷,号称历届最难,特别对农村的考生来说,有人甚至说,只要能考及格就算高分。我们来看看它的选择题压轴题,看看是不是真的有那么难。

设O为坐标原点, A,B为抛物线y=x^2上的两个动点, 且OA⊥OB. 连接AB, 过O作OC⊥AB于点C, 则C点到y轴的最大距离是( ).

A. 1/2;B. 根号2/2;C. 2倍根号5;D. 5

这种题,你要先画图,有图有真相嘛,不然空想是永远做不出来的。但是对许多考生来说,作图简单就是他们的噩梦,这就是平时缺乏练习作图留下来的苦果。

如图,过A,B做x轴的垂线可以构造一个k型相似,看得明白吗?两边是两个直角三角形,中间还夹着一个直角三角形AOB,这叫一线三直角,又称为K形相似三角形,就是两边两个三角形是相似的。

不妨设A(-a,a^2), B(b,b^2), 且a>0, b>0,,由于抛物线的对称性,你反过来设,也是一样的。这里设A点的横坐标是-a,是为了保持a为正数,下面描述起来方便。

那么由上面所分析的K形相似边的比例关系,就可以列得 a^2/b=a/b^2, 即点A到x轴的距离与点B到y轴的距离比,等于点A到y轴的距离与点B到x轴的距离比。化简可以得到ab= 1。

再设直线AB的解析式为:y=kx+c。那么当直线AB和抛物线相交时,就是它们的y值相等时,可列x2-kx-c=0,这时-a和b是这个方程的两个解,它们的和就等于参数a分之c,即-c,从而c=ab=1.

这说明AB与y轴的交点是固定的,记作D点。这是解这道题的关键。如果我们之前有这个经验,即抛物线y=x平方上两个动点A,B,满足题中OA和OB垂直的条件时,AB与y轴的交点是一个定点,且纵坐标为1,那么这道题就可以节省很多时间。事实上,任何顶点在原点的抛物线可能都有类似的规律,且这个交点的纵坐标的绝对值是参数a的平方分之一,若是想要中考取得好成绩,平时就要多做这些方面的探究。

现在注意观察,因为OC⊥AB,所以定边OD所对角∠OCD始终是一个直角,这就说明点C在以OD为直径的圆上。

因此点C到y轴的最大距离就是这个圆的半径,即OD的一半,等于二分之一。

如果平时的知识储备得不够,或临场不会应用,再或者不会作图,那么这道题的难度的确是挺高的。

(0)

相关推荐