数学思维之道--几何结构位置关系的和谐化分析与调整

这篇是对前文《数学思维之道-辩证法和辩证思维(续四)》中几何图形位置关系调整的继续。

这两篇文章中的'位置关系'，其涵义不仅仅是数学教材中所讲的几何图形之间的'位置关系'，例如直线之间的平行、相交、垂直 ，或直线与圆相交、相切、相离。这里的'位置关系'，其涵义比教材中的要丰富一些。

基于位置关系的矛盾分析，通过矛盾分析法发现几何结构中位置关系的不和谐，再想办法调整和转化位置关系(向和谐的方向调整转化)。

位置关系是结构关系的一种，结构决定功能，不和谐的结构就难以产生期望的功能，对解题而言，就是难以得出结论；对命题人而言，这种不和谐正是需要的，它是制造难题的技术手段之一。

物理关系和逻辑关系相互联系相互影响制约，它们是辩证法的一对矛盾。位置关系也属于物理关系，物理关系不和谐会影响逻辑关系的构建和顺畅利用，也就是导致逻辑关系也不和谐。不和谐的关系增加了问题难度，对不和谐关系的处理就体现你的数学思维能力。

下面以一道初中几何题为例继续阐释几何图形结构和谐化分析，特别是位置关系和谐化分析的重要性。

图1

原创思维过程与原创方法如下。

看到这题，有经验的会联想到瓜豆题型，因A点轨迹显然为圆弧，故可合情猜想D点轨迹也为圆弧，但其圆心位置和半径大小似乎难以确定，如果确定圆心位置和半径，就很容易求出BD最小值。

不畏浮云遮望眼，只缘领悟思维道。结合几何直观观察、直觉和矛盾分析法，可感觉和发现AB和CD虽然在长度上存在逻辑关系(AB=2CD)，但它们俩在物理位置关系上并不和谐，相距较远。如前面所述，物理关系的不和谐会导致逻辑关系的不和谐、不容易建立逻辑关系、难以利用或发挥已有的逻辑关系的作用。对此题就是AB=2CD这个逻辑关系难以利用上。

如何调整和转化这个不和谐的位置关系？

对60度，我们容易想到过B点作AC垂线BE，BE=根3*CD，如下图2。BE与CD的位置关系有所改善，但感觉还不够，需要继续调整改善。

图2

怎么调整改善，眼睛盯着图形，作垂线后有直角，借助几何直观和感觉，不难联想到矩形，如下图3，构造矩形BECF。

借助矩形的性质(对边相等)，将BE等量(等价)替换转移到FC，显然FC和CD的位置关系很和谐：它们组合挨在一起，垂直，且有FC=根3*CD。

图3

要提醒的是，抛开此题，位置关系不和谐不一定是距离相距较远，相距较远也可能属于和谐的关系。位置关系和谐与否，可以结合几何图形直观观察，凭感觉和直觉得出，也可自己总结出一些评判标准。

这样调整位置关系后，也就是调整改变几何结构(调结构)之后，此题就由陌生转化为熟悉，拨云见日，没啥云遮雾绕的了。剩下的不难，属于熟悉的瓜豆题型，可以一眼看透。

取BC中点O1,则F点轨迹为以O1为圆心，半径为根3的半圆(位于BC下方)。

熟悉几何变换思想的，可一眼看透：如下图4。将这个半圆绕C点顺时针旋转90度，再作以C点为位似中心，位似比为1/根3的位似变换后的半圆就是D点轨迹。对应地，圆心O1绕C点顺时针旋转90度后再以比例1/根3缩放，就是D点轨迹圆弧的圆心O2。根据位似变换性质和位似比，D点轨迹圆弧的半径O2D为O1F/根3=1，CO2=CO1/根3=1，CO2垂直于BC。

图4

如上图，也可根据手拉手相似证明:作CO2垂直于BC，且CO2=1，易证三角形CO1F 与CO2D相似，相似比为根3，可得O2D=1，故D点轨迹是以O2为圆心，半径为1的圆(严格来讲是半圆)。

知道了D点轨迹(半圆)，连接B点和O2交该半圆于D'，易证易知BD'就是BD最小值。如下图5。

图5

在图5中，由勾股定理可得BO2=根号13，故min(BD)=BD'=BO2-O2D'=根号13-1。

总结

和谐美是数学美的其中之一，不和谐是一种缺陷，运用辩证法中的矛盾分析法结合数学美思想和完形补美思想，对几何图形结构和谐化进行分析度量，运用合情合理的设想(假设)&想象&猜想&推理、构造、变换等多种思想方法，以美启真，对不和谐的结构比如位置关系进行调整与转化(调结构变位置，使其和谐、变美)是一种重要的几何解题策略。