巧借“中间比”解决比例线段证明题

在解决与比例线段相关的证明题时，在寻找比例关系时，有些同学会显得有些手足无措，问题的关键是没有找对“中间比”，因此本文今天的关键是如何构造“中间比”的桥梁，从而解决与比例线段相关的证明题。

知识链接：1、三角形一边的平行线的性质定理及证明；

        2、与三角形一边的平行线相关的辅助线添加.

解决此类问题的一般方法如下：①根据求证中的2对比例线段找到对应的基本图形(A型或X型)；②找到2对比例线段在基本图形中的对应比例线段(“中间比”)；③依据“中间比”进行等量代换。

🌈类型1：直接利用中间比证明：

分析：①发现基本图形：DF:CF对应的基本图形是(GF-BC所在A型图)，此时有：DF:CF=DG:GB；而DM:CD所对应的基本图形是(CE-AD所在A型图)，两者没有中间比；发现CD可以转化为AB，因此DM:AB所对应的基本图形是(AB-DM所在X型图)，此时有：DM:AB=DG:GB；②发现中间比(用颜色圈画更容易发现)；③等量代换，得证。

分析：本题的求证是等积式，需要将等积式转化为比例式；进而找到OM:ON所对应的基本图形(AM-CN所在X型图)，EO:OF所对应的基本图形(AF-BC所在X型图)，找到中间比，再进行等量代换。

分析：本题的求证是等积式，需要将等积式转化为比例式；进而找到EF:BF所对应的基本图形(DE-BC所在A型图)，GB:BE所对应的基本图形(AE-BC所在X型图)，找到中间比，再进行等量代换。

🌈类型2：添加辅助线后利用中间比证明

分析：本题的关键是要先发现BF//AM，然后借助AF平分∠BAC，构造等腰三角形。利用AM//BF，发现两组X型基本图形，然后找到中间比，最后得到AE=EM.

分析：本题的第(1)问是常规的找中间比的问题，本题的第(2)问在于先将等积式转化为比例式，然后借助第一问的结论：EF:ED=BF:CD，因此如何构造中间比，使其等价于BF:CD，因此通过延长GF，构造一组X型基本图形。

分析：本题中现成的X型(AB-CF)中并不包含求证中的比例线段，因此需要借助AB//CF，构造新的X型。