数学·数学史·数学教师（二）
二、数学的“才”、“学”、“识”
数学在一般人的心目中占什么地位呢？大家都不会否认数学在科学研究、技术发展、社会科学、企业管理上的贡献，矛盾却在于大家往往只见到这些成就而忘却了数学本身，难怪有人称数学为“那看不见的文化”！而且大多数人或者不了解数学是什么的一回事，或者只捕捉了片面零碎印象便以偏概全。受过普通教育的人，即使不是艺术家也知道有雕刻、绘画、……；即使不是音乐家也知道有歌曲、旋律、···…；即使不是文学家也知道有诗、小说、……；即使不是科学家也知道有核能、蛋白质、微生物、行星、……。但有多少人知道什么是函数、公理系统、可换群、流形、……？再者，不少人虽然不高兴别人指出他对艺术、音乐、文学、科学一无所知，却不介意别人说他对数学一窍不通，甚至认为不懂数学乃理所当然，说时纵非形于色亦必心安理得！你试向一位朋友说：“怎么你的英文这么差？”对方面红耳热地苦笑承认，而你大有可能从此少了一位朋友！但换了是说：“怎么你的数学这么差？”对方面呈得色地呵呵笑，边笑边说：“是呀，在学校里我一向最怕数学的，硬是弄它不通。”
为什么会这样子？我认为这是我们这群数学教师的“群耻”，“群耻”一天不除，我们的工作一天没有做好。导致这现象的原因可能有好几个，我只提我想到的一个吧。数学有它悠久的历史，当近代物理、化学、生物犹处于发展的初期，数学已经背上了两千多年的辉煌成就，但中小学的数学课程却差不多只学到在这之前的数学！即使在大学里，当其他学科正从19世纪以后的发展推向20世纪的新发现，大部分学生的数学知识却终结于19世纪初期！于是，数学渐渐形成它特有的一套语言，使非数学工作者感到难于亲近。同时，数学是一门累积的知识，它的过去将永远融会于它的现在以至未来当中，加上它的确具有抽象思维的本质，要真正了解它掌握它需要付出一定的时间和努力，并非所有人愿意付出这样的时间和努力(也没有需要所有人成为数学家)。由此衍生一个教学上的现象，就是侧重了数学的技术性内容，把它作为一门工具学科来讲授。这样做，教师可以在规定的时间内传授一定分量的知识，也可以利用表面看来是清晰利落的手法迅速地教懂学生这套特别的语言。然而，这样做也掩盖了数学作为一门文化活动的面目，难怪很多认为自己将来无须使用数学的人觉得数学与己无干，也乐于表示自己跟枯燥的公式和刻板的计算打不上交道了。这使我想起刘徽《九章算术注》原序里的一段话：“虽曰九数其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量，可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”
所以，一个平衡健全的数学课程应该兼顾几方面，粗略地可分为三点：(1)思维训练；(2)实用知识；(3)文化修养。打开任何一份数学课程纲要，都可以在“教学目的”这一项底下找到这三点。当然，表达方式各有不同，所用字眼亦各有异，但基本精神是一样的。如果我们不拘小节，但求捕捉个中精神，一个更抽象更笼统的说法便是在上一节结尾时提到的“才”、“学”、“识”。(1)相应于“才”；(2)相应于“学”；(3)相应于“识”。
“才”指才能，于数学而言，就是计算、推理、分析、综合的能力，也是洞察力、直观思维能力、独立创作力。“学”指与专业有关的知识，都从前人继承而来，例如勾股定理、二次方程解公式、极限理论、积分计算，等等。“识”指对知识分析辨别、融会贯通、梳理出自己的观点和见解这种能力。才而不学，是谓小慧；有学无识，只是“活动书橱”；不学则难以有识，即使有亦流于根底肤浅。所以，三者相辅相成。我们希望自己做到的，更希望我们的学生做到的，就是三者兼之。
三者之中，“才”是最不好讨论，因为虽然计算、推理、分析、综合的能力还算可以训练外(但也不易，而且结果难于测量)，其余像洞察力、直观思维能力、独立创作力是可培养而非可训练的。不过，我愿意介绍一些适合中学数学教师阅读的参考材料：
G.Polya, How to Solve it, 2nd Edition, Princeton University Press,1957;
G. Polya, On Learning, Teaching, and Learning Teaching, Amer. Math.Monthly, 1963 (70):605-619;
D. Solow, How to Readand Do Proofs,Wiley,1981;
U. Leron, Structuring Mathematical Proofs, Amer. Math. Monthly,1983 (90):174-185。
我曾经在两次给中学生的讲演上强调人类思维能力的可贵，奉劝各位同学不要只满足于现成的解法，不要满足于一定的程序而不加深究、不愿自己动手干动脑想，以致变得思考迟钝、思路含糊。在这里，我想再强调这一点，“才”是需要磨炼的。
其次，“学”的讨论一定与教学法有关，我已经说过不谈的。但“学”联系着“识”却是下面要讨论的重点。为方便起见，不如合起来称为“学识”。数学的“学识”可作纵横看，纵方面就是追溯数学概念和理论的来龙去脉，横方面就是探讨数学的本质和意义。你或者问：“这么大的题目，跟我的日常教学有关系吗？数学的本质和意义是哲学上的问题，我只想教数学吧，管它什么哲学观点？我只想教懂学生现代数学吧，溯本寻源有何用哉？”
我不否认数学的本质和意义是哲学上的问题，而且每人对这个问题有每人不同的见解和体会，我也不是要有一个人人一致的铁定答案。但我不同意为了上述原因我们便回避这个问题，我也不相信它对数学教师的工作没有影响，让我举一个例子说明忽视这问题可能带来的影响。各位对所谓“新数”、“旧数”之争必已耳熟能详(请参看以下一份很有分量的文章：梁鉴添，评论近二十年来中学数学课程改革，《抖擞》双月刊第38期，1980年5月，64-75页)。
很多时候我们听到类似这样的一些批评，它说“新数”的教材不适合中小学生程度，因为中小学生的认知能力尚未发展到可以接受如此形式化处理的阶段。虽然这是实情，但如果仅仅是这样，反对便显得乏力了，因为那就像说：“真正做数学的人是这样做的，可惜你们未达到那个程度，暂时只好改用你们可以接受的材料。”那岂非以“次货”代“真货”吗？而且，言下之意还有“对牛弹琴”之叹！不是的，我认为数学家根本不是那样做数学，所以“新数”的设想从根本即站不住脚。形成“新数”这种气候和局面，是很多人(包括设计课程的人、编写教材的人、教这些课程的人)对数学的本质和意义的信念的一种反映，这种信念是出于对“形式主义”的偏爱和误解。德国大数学家 David Hilbert 本世纪初提出“形式主义”，视数学为没有意义的符号进行没有意义的纸上游戏，那纯粹是为了企图解决数学基础上的相容性难题。这个类似“釜底抽薪”的做法，是为了这个特定目标特意精心设计出来的，却不是说数学就是那样子的活动。Hilbert本人的话，是最好的批注：“在我们的形式主义游戏中出现的公理和可证明的定理，乃是形成通常数学对象的那些概念的映象。”在他著名的《几何基础》卷首，他引用了18世纪德国哲学家 Immanuel Kant的话作题词：“人类的一切知识，皆始于直观，再发展为观念，终于形成理念。”看看数学发展经过，当能更好明白这一点。我不打算作进一步的讨论，但谁能再说数学本质的认识对数学教学没有影响呢？
萧文强，数学教学上如何古为今用，《抖擞》双月刊第44期，1981年5月，70-73页。 萧文强，活用数学史，《数学教学季刊》第2期，1981年，6-9页。