每日一题347：一类函数列零点及零点数列极限存在性的证明与推广
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设在上连续，在内可导且严格单调，当时， . 令
其中为常数. 若，则在 内有唯一实根 ，且
其中是的反函数.
练习2：设为正整数，
求证：(1) 对任意自然数 ，方程 在内有且仅有一个根；
(2) 设 是 的根，求 .
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设在上连续，在内可导且严格单调，当时， . 令
其中为常数. 若，则在 内有唯一实根 ，且
其中是的反函数.
【参考解答】：因 在 上连续, 在 内可导, 知 在 上连续, 在 内可导. 又因为 故由零点定理知, 使得 成立. 由于
严格单调，故 或 ，又 ，故 或 ，即 严格单调，综上可知 在 内有唯一实根 .
由
得
因 在内严格单调递增（递减），所以 ( )，即数列 严格单调递减（递增）. 又 ，故有下界（上界），于是由单调有界原理知极限存在.
设，由于
当时， . 故由函数的连续性知，对上式两端取极限，得
解得
即
练习2：设为正整数，
求证：(1) 对任意自然数 ，方程 在内有且仅有一个根；
(2) 设 是 的根，求 .
【参考解答】：由练习1的结论，令
则
当时，可得 . 故令
则，且
故即在 内有且仅有一个根. 取 ，得
【注】：这类问题在部分高校数学分析考研、全国硕士研究生招生考试与竞赛题中出现多次，比如：
(1) 设，证明：方程在内有唯一实根 ，并求.(1997年北京师范大学，2004年苏州大学，2012年全国硕士研究生招生考试、1994年第六届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛)
(2) 设，证明：方程在有唯一实根 ，并求. (1999年北京师范大学，2002年浙江大学，2012年南京师范大学).
遇到此类和式结构定义的函数列的零点的存在性与零点数列的极限存在性的讨论与极限值的计算都可以应用练习1的思路进行探讨与验证.
【参考文献】：
[1] 潘杰，周玲. 一道数学考研试题的一般形式及其应用[J]. 大学数学
[2] 华东师范大学. 数学分析[M]. 高等教育出版社
[3] 钱吉林. 数学分析解题精粹[M]. 西北工业大学出版社.
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