特殊四边形中的线段相等问题

问题来源和解析：本题是沪教版八年级第二学期第22章第三节“特殊的平行四边形”中的一道例题。本题的证明思路如下：已知四边形ABCD是菱形，且∠B=60°，由此联想到等边三角形。连结对角线AC，要证明AE=AF，只要证明它们所在的两个三角形▲ABE和▲ACF全等。注意到菱形被它的一条对角线分割成两个等腰三角形，它又有一个内角为60°，于是得到两个等边三角形，这是添加辅助线的思考依据。

添加辅助线后，既可以证明▲ABE≌▲ACF，又可以证明▲ACE≌▲ADF，通过构造全等，达到对应线段相等的目的。

解法分析：本题去除了∠B=60°这一特殊条件，若还是联结AC，则无法得到等边三角形。本题的解题思路如下：若从两个三角形的角度切入，则需要构造全等三角形，从而得到AE=AF；若从一个三角形的角度切入，则需要构造等腰三角形，从而得到AE=AF。

解法1：构造全等三角形(作垂线，构造二次全等)

解法2：构造等腰三角形(截取线段，先构造全等，再证明等腰)

解法3：利用四点共圆(构造相似三角形)

由于∠EAF+∠C=180°，对角互补，因此可以利用四点共圆及相似三角形的相关性质进行证明。

解法分析：本题去除了菱形四边相等的性质，因此涉及全等条件中边相等的元素被破坏。但是对角互补的四边形没有被破坏，因此得到相关角相等没有被破坏。由菱形过渡到平行四边形，因此由全等三角形过渡到相似三角形，找到线段之间的数量关系。

方法小结

解法分析：本题第一问就是课本例题的原题，联结AC，证明全等即可；本题的第二问考察了▲AEF周长的最小值，当且仅当AE⊥BC时，周长有最小值。

解法分析：本题第一问的前提满足了对角互补+四边相等的特点，因此第一问的①问直接证明全等三角形即可；第②问则通过线段的比例关系，用含a的代数式表示菱形的边长、AE、BE、CE的值，再通过证明▲AEF∽▲ABC即可；本题的第二问的条件变为了对角的倍半关系，因此目标变为寻找相似三角形。同时根据▲AMN是等腰三角形，进行分类讨论，依据线段间的比例关系得到CE的值。