平面直角坐标系中等腰三角形的存在性(尺规作图法)

对于等腰三角形的存在性，首先考虑的就是分类讨论，如▲ABC是等腰三角形，则若以A为顶点，则有AB=AC，若以B为顶点，则BA=BC，若以C为顶点，则CA=CB。由于七年级的学生尚未学过距离公式，因此我们可以借助尺规作图法，结合一线三直角模型讨论等腰三角形的存在性。

首先让我们先讨论下平面直角坐标系中点的求法：如图1，我们往往可以通过过点A向x轴或y轴做垂线，从而求得点的坐标。如图2，将OA绕点O逆时针旋转90°，如何求得点B的坐标呢？这时就需要借助“一线三直角”这个基本模型解决问题。

如下图，我们通过作垂线，构造全等三角形，从而达到线段的转化。

如图，通过向坐标轴做垂线，构造了▲BOE≌▲AOD，利用BE=OD，OE=AD，得到点B的坐标。这也是我们常见的添线方法。

解法分析：线段OA绕点O旋转90°，有两种情况，分别是OA绕点A顺时针选择90°或逆时针旋转90°，再利用“一线三直角模型”构造全等三角形求得点B坐标。

解法分析：本题再例1的基础上新增加了等腰直角三角形的背景，以OB为直角边，有两种情况，分别是∠BOD为90°，∠DBO=90°两种情况，再构造一线三直角模型求点坐标。

解法分析：本题是等腰三角形的存在性问题，限定了以AB为腰，且C点在坐标轴上，因此我们可以借助尺规作图法画出符合条件的C点坐标。即当AC=AB时，以A为圆心，AB为半径画弧，找到与坐标轴的交点；当BC=AB时，以B为圆心，AB为半径画弧，再次找到与坐标轴的交点即可。

解法分析：本题是等腰三角形的存在性问题，分三种情况进行讨论：①AB=AP，②AB=BP，③AP=BP，特别地第三种情况，P在AB的垂直平分线上。根据线段之间的等量关系，求出P点坐标，再计算▲PAB的面积。

解法分析：本题是等腰直角三角形的存在性问题，分三种情况进行讨论：①AB=AC，∠A=90°，②AB=BC，∠B=90°③AC=BC，∠C=90°。不仅需要尺规作图画圆外，还可以通过作直角顶点的垂线，使其与圆相交，从而确定点的坐标。本题是有方格存在的情况，因此可以通过画图确定，如果没有方格，可以同例2的解法，构造一线三直角模型求解。

解法分析：本题是全等三角形的存在性问题，根据对称性可以确定第3问Q点的坐标，数形结合。