梅涅劳斯定理[梅涅劳斯定理]

证明四

梅涅劳斯定理

过三顶点作直线DEF的垂线AA'，BB'，CC'，如图：

充分性证明：

△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

梅涅劳斯定理

连接DF交CA于E'，则由充分性可得，

梅涅劳斯定理

又∵

梅涅劳斯定理

∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以 共线

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ= 、μ= 、ν= 。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）  

梅涅劳斯定理

此外，用该定理可使其容易理解和记忆：

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则

梅涅劳斯定理

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。

该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。

第二角元形式的梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则 (O不与点A、B、C重合)

梅涅劳斯定理