由三道高考题看椭圆的一个规律

由三道高考题看椭圆的一个规律

解析几何问题就其结论而言一般有两种题目：一种是只有在题目特定的条件下结论才成立，不具有普遍性；一种结论在任和条件下都成立，具有普遍性.这种具有普遍性的结论可以称其为规律.掌握了解一些圆锥曲线的规律，有助于分析问题、解决问题.圆锥曲线的小规律前面写过一些，下面通过三道高考试题来看椭圆的一个规律.

先回顾三个高考试题：

1、2019年高考数学全国II卷21题

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为0.5.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：三角形PQG是直角三角形；

（ii）求三角形PQG面积的最大值.

2、2012年高考数学湖北理科22题

当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

3、2011年高考数学江苏理科18题

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.

上述三题解法在此略去，它们都是以椭圆的如下规律为背景的题目.

椭圆有如下规律：（仅以焦点在x轴为例说明）

（1）直线AB，BC，BD的斜率成倍数关系；

（2）直线AC，BC的斜率积与直线AD，BD的斜率积相等，且为常数；

(3)直线AB，AC的斜率积为常数；直线AB，AD的斜率积为常数.

如图：

证明如下：

即：直线AB，BC，BD的斜率成倍数关系；

（2）这个结论的证明方法不唯一，下面指给出一种证明方法（点差法）：

由点B，C在椭圆上得：

所以：直线AB，AC的斜率积为常数；直线AB，AD的斜率积为常数.