中国古算书简介 | 01《周髀算经》

前言

各国古史多属传闻，我国以当时文字记载当时事迹的历史则出现较早，1898年在河南省安阳县小屯殷墟发现大量的（龟）甲（兽）骨上有古篆，据学者辨认，是殷王盘庚及其以后各王的纪事和占卜的记裁，距今已有三千三百年。甲骨文陆续出土的有数十万片，其中记载数的字为：

可注意的是数“十”与数“一”的字相同，可见十进制记数法已经应用。这也是我国首创。

1953年在安徽灵璧及渐江嘉兴发现的新石器时代遗址上掘到的陶片有方格、米字、回字、椒眼和席纹的几何图案，在河南安阳殷墟掘出的车轴有五边形、六边形以至九边形的图案，在陕西宝鸡出土的陶器上有三角形、正方形、矩形和圆形等，这些事实说明我们祖先很早就有丰富的几何概念。

西周时代，就有明历数的“畴人”。春秋时有人以“九九” （即乘法九九表）献给齐恒公。

孔子作《春秋》，在242年当中记载了36次日食。孔子卒后，门弟子又补记了一次，共37次日食。以近代的方法推算，所记载的年份，皆是有食象发生的。奇怪的是，其中有一次日全食的食带，经过欧洲，还有一次日环食，食带经过亚洲西北部，当时在鲁国的孔子不可能看见这两次日食，何以能记入史册？有人说，孔子是经过推算而得的。可见远在春秋时代，我国已能用数学知识作天文测算。

孟子说：“天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至，可坐而致也”，大意是说：天是很高的，星辰是很远的，如果求出它的道理，即使时隔一千年之久的冬至与夏至，也能坐在桌子旁边把它计算出来。

《墨经》中有许多关于几何的知识。例如给圆下的定义是“圆，一中同长也”，给平行线（面）的定义是“平同高也”。

《庄子》中载有庄周的朋友惠施的一段话：一尺之棰，日取其半，虽万世不竭。提出了极限的概念。

以上简略地征引出土文物与先秦古籍的记载，说明我国先民创造了悠久的文化，积累了丰富的数学知识。下面从《算经十书》——指《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《辑古算经》、《数术记遗》、《夏侯阳算经》十部古算书——开始结合中学教材（代数、几何、三角、解析几何，微积分)叙述有关数学的历史故事。在“洋为中用，古为今用”的原则下，也叙述国外数学家的故事，至于与中学教材无关的概从割爱。

一、《周牌算经》简介

“周髀”两字的意义，可在书中找到答案。卷上有荣方和陈子的问答。荣问：“周髀者何？”陈子答：“古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀，髀者表也”。“髀”的原义是股或股骨，这里说的是用来测量日影的八尺的表（有刻度的木杆），“周”是周代。这本书是周代传下来的测天的理论和方法，故曰周脾(英国李约瑟认为“周”是“周天”)。

《周髀算经》成书年代尚未有定论。据专家多方考证，认为约在公元前235年至公元前145年之间。

《周髀算经》中最著名的是提出了“勾股定理”。书的开头有这样一段：“昔者周公问于商高日：'窃闻乎大夫善数也。请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：'数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。’”

这一段文字的大意是说：周公问商高，听说您是精通数学的，古时伏羲氏划定天球的度数，但天是很高的没有梯子可上，地是很广阔的不可能拿尺来量，请问是怎样得出数字的？商高说：数学是从研究圆形和方形开始的，圆形出于方形(由于圆形的弧长及面积无法用直尺度量，而方形则是可以度量的，在圆中作内接正多边形，当其边数倍增时，它的周长及面积可近似于圆的周长及面积）。而方形则由矩作出。矩的边长可以量度，面积由乘法表计算。矩依对角线折起来，得出直角三角形，勾三、股四、弦五。推而广之，就是在直角三角形中，勾、股的平方和等于弦的平方。

许多定理皆由勾股定理导出，如果没有勾股定理就没有一部三角学。

据说埃及人在公元前二千年就知道三角形三边之比为3：4：5的勾股定理。欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯是公元前6世纪时代的人，据说他发现此定理时，曾杀一百头牛以谢上帝。

又据传说，在唐尧时代（公元前2400年前后），大禹治水，“左准绳，右规矩”，“身为度” (用自己身体做度量标准)，进行山川测量。这当然要使用数学，同时促进数学发展。

关于矩的使用方法，书中也有明确说明。“周公曰：'大哉言数，请问用矩之道。’商高曰：'平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。’”

这里的矩是矩尺，是木匠师傅用的曲尺，这一段话大意是说：周公说，数的功用是很大的，请问怎样使用矩尺。商高说，把矩尺平放，可以确定两绳互相垂直，把矩直立（偃当仰字讲）可以测高，把矩尺倒过来可以测深，把矩尺放在地面上可以测远，直角顶点常斜边为直径的圆周上，两矩尺一顺一逆，斜边相合则成矩形。

商高是善于用矩，精通测量术的人，在上述的测量方法中必须用到相似三角形，比起希腊塔利斯用相似形原理测量金字塔的高度要早五个世纪。

书中弦图是为《周髀》作注的赵君卿所创作。十二世纪印度的婆什迦罗的书中有类似的图形，和弦图不同的地方是没有外面的那个正方形，只有四个直角三角形拼成，没有说明，只有“请看”二字。可能是赵君卿（赵爽）的弦图传入印度的，因为赵君卿是公元222年间的人，当时佛教已传入中国，中印文化交流是不容置疑的，而赵君卿比婆什迦罗要早900年。

《周髀》卷上之二，有关于利用勾股术测量节气的方法，书中载陈子与荣方问答。陈子对荣方说：“髀”是一根8尺长的杆子，立在周城上测日影所以叫做周髀。晷是日影，髀垂直立在平地上，和影子构成一个直角三角形，以髀为股，以影为勾，夏至时影长一尺六寸，如果在城南千里及城北千里皆同样立8尺高的髀，那么在夏至这一天城南千里的髀影长1尺5寸，城北千里影长1尺7寸（按此即 “千里一寸”说)。陈子想出一个测髀至太阳的距离的简便方法，就是等到影长6尺的时候，△ABC的三边刚好成3：4：5的关系。陈子曰：“侯勾六 尺……从髀至日下6万里而髀无影，从此以上至日则八万里。

如果要求邪(斜)至日，以日下(y)为勾，日高(x)为股，勾股各自乘，并(相加）而开方除之（开平方）得邪至日十万里，这是普遍的勾股定理的记载[3：4：5是勾股定理的特殊情形，陈子还计算（如果算到小数四位则为119197.3154)]。

陈子与荣方是何时人，赵君卿只说是周公以后的人。但《周髀》卷上之三有“日冬至在牵牛”，这里的牵牛是黄道上的星，是二十八宿中的牛宿。以牛宿中的“天田四”按岁差(冬至点每年后退50.24秒)计算，陈子是公元前七世纪时代的人，早于毕达哥拉斯二百年。

陈子熟练地掌握勾股定理是中国人的骄傲，但他计算日地距离所得数据完全错误，致错的原因是把大地看成平面而不知大地是球面，是时代的局限性的表现。而且“一寸千里”的说法也是不正确的。

《周髀》还有很复杂的分数运算。我们大家都知道，“分数运算，只有繁，没有难”只要掌握分数的加减乘除和通分约分的方法，任何复杂的分数皆可以算得很清楚。