【八年级】一次函数的方案问题例析
从近几年的中考题来看，一次函数的相关方案问题主要以下面两种问题形式呈现：
（1）物资调运
例1.为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。
（1）直接用一元一次方程求解。运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨，设运往E县m吨，则运往D县（2m-20）吨，则m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解）
（2）由（1）中结论，并结合题设条件，由A地运往D的赈灾物资为x吨，可将相应数量关系列表如下：
表格说明：①A、B、C、D、E各地后括号中的数字为调运量或需求量；
②表格中含x的式子或数字，表示对应地点调运数量；
③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。
确定调运方案，需看问题中的限制条件：①B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。②B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。故：
方案一：A县救灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；
B县救灾物资运往D县79吨，运往E县21吨。（其余方案略）
（3）设运送这批赈灾物资的总费用为y，由（2）中表格可知：
y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20
=-10x+60800
∵y随x增大而减小，且40＜x≤45，x为整数，
∴当x=41时，y有最大值。
该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-10×41+60800=60390（元）
求解物资调运问题的一般策略：
（1）用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；
（2）根据表格中量的关系写函数式；
（3）依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；
（4）根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。
物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。
（2）方案比较
例2.在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）
方案二：购买方式如图2所示。
解答下列问题：
（1）方案一中，y与x的函数关系式为 ；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为 ，当x＞100时，y与x的函数关系式为 。
（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。
（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？
解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。
（1）中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000（x≥0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0≤x≤100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y2=100x（0≤x≤100）；当x＞100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y2=80x+2000（x＞100）。
（2）购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出此时x的值。然后利用不等式确定方案。
当y1=y2时，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。
当y1＞y2时，解得x＜400，则当100＜x＜400时，选择方案二，总费用最省；
当y1＜y2时，解得x＞400，则当x＞400时，选择方案一，总费用最省。
（3）分两种情况讨论：（用方程求解）
①甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＜100）张，则乙买700-m张。
100m+60（700-m）+10000=58000 解得m=150（不合题意，舍去）
②甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＞100）张，则乙买700-m张
80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得m=200，700-m=500
求解方案比较问题的一般策略：
（1）在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。
（2）方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。
（3）方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。
方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。