有理数

简介
命名由来
“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,
“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。
有理数的认识
有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。
在有理数集内,加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算通行无阻。

有理数的大小顺序的规定:如果

是正有理数,当

大于或小于

,记作

。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集与整数集的一个重要区别是,有理数集是稠密的,而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后,任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数,这就是稠密性。整数集没有这一特性,两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。
有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。
有理数及其分类
有理数的分类按不同的标准有以下两种:
(1)按有理数的定义分类:

(2)按有理数的性质分类:

基本运算法则
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加法运算
  1. 同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加。
  2. 异号两数相加,若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  3. 互为相反数的两数相加得0。
  4. 一个数同0相加仍得这个数。
  5. 互为相反数的两个数,可以先相加。
  6. 符号相同的数可以先相加。
  7. 分母相同的数可以先相加。
  8. 几个数相加能得整数的可以先相加。
减法运算
减去一个数,等于加上这个数的相反数,即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
乘法运算
  1. 同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
  2. 任何数与零相乘,都得零。
  3. 几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负,当负因数有偶数个时,积为正。
  4. 几个数相乘,有一个因数为零,积就为零。
  5. 几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后后把绝对值相乘。
除法运算
  1. 除以一个不等于零的数,等于乘这个数的倒数。
  2. 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数,都得零。

有理数

注意:

零不能做除数和分母。
有理数的除法与乘法是互逆运算。
在做除法运算时,根据同号得正,异号得负的法则先确定符号,再把绝对值相除。若在算式中带有带分数,一般先化成假分数进行计算。若不能整除,则除法运算都转化为乘法运算。
乘方运算
  1. 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。例如:(-2)³(-2的3次方)=-8,(-2)²(-2的2次方)=4。
  2. 正数的任何次幂都是正数,零的任何正数次幂都是零。例如:2(2的2次方)=4,2 (2的3次方)=8,0(0的3次方)=0。
  3. 零的零次幂无意义。
  4. 由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
  5. 1的任何次幂都是1,-1的偶次幂是1,奇次幂是-1。
有理数运算定律
加法运算律:
  1. 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即 。
  2. 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变,即 。

减法运算律:

减法运算律:减去一个数,等于加上这个数的相反数。即:

乘法运算律:
  1. 乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变,即 。
  2. 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数先乘,或者先把后两个相乘,积不变,即 。
  3. 乘法分配律:某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加,即
混合运算法则
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有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如果是同级运算,则按照从左到右的顺序依次计算。
相关问题
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除以零的谬误
在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明:

。前提

不等于

  • 由:0a=0,0b=0,得出0a=0b。
  • 两边除以零,得出0a/0=0b/0。
  • 化简,得:a=b。
以上谬论一个假设,就是某数除以0是容许的,并且

代数处理

若某数学系统遵从域的公理,则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作,即

值是方程

的解(若有的话)。若设

,方程式

可写成

或直接

。因此,方程

没有解(当

时),但是任何数值也可解此方程(当

时)。在各自情况下均没有独一无二的数值,所以未能下定义。

整数
整数,是序列{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}中所有的数的统称,包括负整数、零(0)与正整数。和自然数一样,整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示为粗体Z或,源于德语单词Zahlen(意为“数”)的首字母。
在代数数论中,这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数,用以和高斯整数等的概念加以区分。
全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。
Z是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与(Z,+)同构。
本词条内容贡献者为:胡启洲 - 副教授 - 南京理工大学
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