压轴题打卡108：二次函数有关的综合问题

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）设P（m，﹣3m²/4+9m/4+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣3x/4+3，表示PD=﹣3m²/4+3m，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：△PFD的周长/△BOC的周长=PD/BC，代入得：L=﹣9（m﹣2）²/5+36/5，求L的最大值即可；

（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣3n²/4+9n/4+3），则D（n，﹣3n/4+3），G（0，﹣3n/4+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．

解题反思：

本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．